[論文レビュー] Injective hulls of certain discrete metric spaces and groups

Urs Lang|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、β-安定区間を備えた離散的測地的距離空間の単射包が、$π^n_\infty$ 内の多面体に等長な $n$-セルを有限個の等長型しか持たない、局所的有限で適切な多面体複体であることを確立する。この性質を持つ有限生成群（たとえば、語的双曲的群やアーベル群）に対して、単射包は、適切な作用の分類空間 $π E\Gamma$ に対する有限次元的、$γ$-同変モデルを提供し、非正曲率空間における弱い意味での適切かつコンパクトな群作用を可能にする。

ABSTRACT

Injective metric spaces, or absolute 1-Lipschitz retracts, share a number of properties with CAT(0) spaces. In the 1960es, J. R. Isbell showed that every metric space X has an injective hull E(X). Here it is proved that if X is the vertex set of a connected locally finite graph with a uniform stability property of intervals, then E(X) is a locally finite polyhedral complex with finitely many isometry types of n-cells, isometric to polytopes in l^n_\infty, for each n. This applies to a class of finitely generated groups G, including all word hyperbolic groups and abelian groups, among others. Then G acts properly on E(G) by cellular isometries, and the first barycentric subdivision of E(G) is a model for the classifying space \underbar{E}G for proper actions. If G is hyperbolic, E(G) is finite dimensional and the action is cocompact. In particular, every hyperbolic group acts properly and cocompactly on a space of non-positive curvature in a weak (but non-coarse) sense.

研究の動機と目的

• 単射包が局所的有限な多面体複体である条件を同定すること。
• 有限生成群が β-安定区間を備える場合、その単射包が有限次元的であり、適切かつコンパクトな群作用を許容することを確立すること。
• 単射包を用いて、適切な群作用の分類空間 $\underline{E}\Gamma$ の新しい幾何的モデルを提供すること。
• 語的双曲的群およびアーベル群が、弱い意味で非正曲率を有する単射包上で適切かつコンパクトに作用することを示し、幾何的群論の道具立てを拡張すること。

提案手法

• Isbell の単射包 $\mathrm{E}(X)$ を距離空間 $X$ のタイトスパンとして構成し、その多面体的構造を分析する。
• β-安定区間の概念を導入：任意の $x,y,y'$ について $d(y,y')=1$ ならば、区間 $I(x,y)$ と $I(x,y')$ のハウスドルフ距離は $\beta$ 以下である。これにより幾何的制御が保証される。
• もし $X$ が離散的測地的かつ有界集合がすべて有限で、β-安定区間を備えるならば、$\mathrm{E}(X)$ は適切かつ局所的有限であり、$n$-セルの等長型が有限個であることを証明する。
• $\mathrm{E}(X)$ の各 $n$-セルが、$n$ 次元の $\ell^n_\infty$ 空間内のコンパクトな凸多面体に等長であることを示す。
• 結果を、語の距離を備えた有限生成群 $\Gamma$ に適用し、$\Gamma$ が $\mathrm{E}(\Gamma)$ 上で適切かつセル単位で作用することを示し、$\mathrm{E}(\Gamma)$ の最初のバーチャル・サブディビジョンが $\underline{E}\Gamma$ のモデルであることを示す。
• 単射距離空間における固定点定理を用い、$\Gamma$ が双曲的ならば $\mathrm{E}(\Gamma)$ が $\delta$-双曲的であることを示すが、$\Gamma$ と概似等長でない可能性がある。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散的距離空間にどのような幾何的条件が課されると、その単射包が、セルの等長型が有限個である局所的有限な多面体複体となるか？
• RQ2 β-安定区間を備えた有限生成群の単射包が、適切な群作用の幾何的モデルとして機能できるか？
• RQ3 語的双曲的群の単射包は、有限次元的であり、コンパクトな群作用を許容するか？
• RQ4 単射包を用いて、$\Gamma$-同変的かつ有限次元的かつ適切な分類空間 $\underline{E}\Gamma$ の一般構成が可能か？
• RQ5 群の単射包とその語の距離との関係は何か、特に有限次元性および局所的有限性の観点から。

主な発見

• もし $X$ が有界集合がすべて有限で、$\beta$-安定区間を備えた離散的測地的距離空間ならば、$\mathrm{E}(X)$ は適切かつ局所的有限な多面体複体であり、各 $n$-セルは $\ell^n_\infty$ 内のコンパクトな凸多面体に等長である。
• 有限生成群 $\Gamma$ が語の距離を備える場合、$\Gamma$ が $\beta$-安定区間を備えるならば、$\Gamma$ は $\mathrm{E}(\Gamma)$ 上で適切かつセル単位で作用し、$\mathrm{E}(\Gamma)$ の最初のバーチャル・サブディビジョンは、適切な作用の分類空間 $\underline{E}\Gamma$ のモデルである。
• $\Gamma$ が語的双曲的ならば、$\mathrm{E}(\Gamma)$ は有限次元的であり、$\Gamma$ の $\mathrm{E}(\Gamma)$ 上の作用はコンパクトである。したがって、$\Gamma$ は弱い意味で非正曲率を有する空間上で適切かつコンパクトに作用する。
• $\mathbb{Z}^2$ の単射包は有限次元的かつ局所コンパクトであるが、 Baumslag–Solitar 群 $\langle x,y \mid yx = x^2y \rangle$ の場合、タイトスパンにおける任意に高いランクの点列の存在により、$\mathrm{E}(\Gamma)$ は無限次元的である。
• 群 $\langle a,b,t \mid ab=ba, t^2=1, tab=abt \rangle$ の場合、$\mathrm{E}(\Gamma)$ は $d_1$ において無限の次数の単体的木を等長埋め込みとして含むため、$\mathrm{e}(\Gamma)$ の近傍で局所コンパクトではないが、それでも有限次元的である可能性がある。