[論文レビュー] Input-to-State Stability with Respect to Boundary Disturbances for a Class of Semi-linear Parabolic Equations

Jun Zheng, Guchuan Zhu|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2017

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、時間微分を含まない新たなリャプノフ汎関数のアプローチを用いて、ロビンまたはノイマン型境界摂動を伴う半線形放物型PDEのクラスに対して入力状態安定性（ISS）を確立する。時間微分を含まない技術的不等式を構築することで、境界条件を直接取り扱い、非有界作用素を回避し、摂動の微分に明示的な依存がないISS推定を導出する。これにより、固有関数展開や有限差分法に比べて計算的に効率的な代替手法が得られる。

ABSTRACT

This paper studies the input-to-state stability (ISS) properties based on the method of Lyapunov functionals for a class of semi-linear parabolic partial differential equations (PDEs) with respect to boundary disturbances. In order to avoid the appearance of time derivatives of the disturbances in ISS estimates, some technical inequalities are first developed, which allow directly dealing with the boundary conditions and establishing the ISS based on the method of Lyapunov functionals. The well-posedness analysis of the considered problem is carried out and the conditions for ISS are derived. Two examples are used to illustrate the application of the developed result.

研究の動機と目的

• ロビンまたはノイマン型境界摂動を受ける半線形放物型PDEに対して、入力状態安定性（ISS）を確立すること。
• リャプノフ汎関数を用いる際の、非有界作用素および摂動の時間微分の問題を克服すること。
• 境界条件を直接取り扱えるように、C¹関数の点での値とそのL²およびH¹ノルムを関連付ける技術的不等式を構築すること。
• 固有関数展開や有限差分スキームに比べ、PDEのISS解析において計算負荷が低い代替手法を提供すること。
• 非線形性と境界摂動を伴う2つの代表的な放物型PDE例に、本手法の適用可能性を示すこと。

提案手法

• 境界条件を直接取り扱えるように、C¹関数の点での値とL²およびH¹ノルムを関連付ける技術的不等式（補題1および補題2）を構築する。
• 標準的なリャプノフ汎関数を適用し、解の事前推定を導出し、領域内および境界摂動の観点から有界性を保証する。
• ISSに必要な成長バウンドを満たすために、非線形項f(t,x,u,p)に構造的条件を課す。特に、定数M₁およびM₂を用いたリプシッツ型条件を含む。
• 変換w(t,x) = e^{mx/(2μ)}u(t,x)を用いて、輸送PDEを解析に適した標準的な放物型形式に変換する。
• 係数a, b, μ, nに基づき、リャプノフ汎関数がISSを導く条件を確認するため、仮定3, 4, 5を適用する。
• 導出された条件下でPDE系の適切な定式化および解の一意性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リャプノフ汎関数を用いる際、摂動の時間微分を含まないで、境界摂動に対する入力状態安定性（ISS）を半線形放物型PDEに対して確立できるか？
• RQ2 境界条件を直接取り扱えるように、C¹関数の点での値とそのL²およびH¹ノルムを関連付ける技術的不等式をどのように構築できるか？
• RQ3 非線形項f(t,x,u,p)にどのような構造的条件を課すと、リャプノフ汎関数がISS推定を導けるか？
• RQ4 本手法は、固有関数展開や有限差分スキームに比べ、ISS解析において計算複雑性がどのように異なるか？
• RQ5 本手法は、考察された2つの例に限らず、他のPDEクラスへも拡張可能か？

主な発見

• 提案手法は、新規の技術的不等式（補題1および補題2）を用いることで、ISS推定に摂動の時間微分が現れないように効果的に回避した。
• 非線形項f(t,x,u,p) = αu − β|u|²uを伴う半線形放物型PDEに対して、α < 0およびb₁/b₂ < 1/3の条件下でISSが確立された。
• 非線形項f(t,x,u,p) = αu − β|u|²u − γ|u|⁴u + λpを伴うPDEに対しては、α + |λ| < 0、|λ| ≤ μ、およびb₁/b₂ < 1/4の条件下でISSが成立する。
• 1次元輸送PDE（式(28)）は、a ≥ 4/3、b < 1/3、および(m²/(4μ) + n) > 0の条件下でISSであることが示され、解析を簡略化するための変換が行われた。
• 固有関数展開や有限差分スキームに比べ、本手法はスペクトル計算や反復計算を回避するため、計算負荷が低く抑えられる。
• 本手法はディリクレ型境界摂動（b₂ = 0の場合）には適用できない。これは別途開発された別途の手法を必要とする。