[論文レビュー] Inside Out: Meet The Operators Inside The Horizon

Ahmed Almheiri, Tarek Anous+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 50被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、境界時間発展演算子と異なるハミルトニアンを用いて、時間に依存するAdS幾何における因果的ホライズンの背後に位置するゲージ不変なバルク演算子を再構成する手法を提案する。バルク時間発展演算子と境界時間発展演算子の等価性を活用し、重力的ドレッシングを精確に追跡することで、ホライズンを超えてさえも一貫性を保つ境界表現のバルク演算子を導出する。特にAdS₂およびAdS₃のような簡単なケースでは、モジュラー流動と等価であることが示される。

ABSTRACT

Based on the work of Heemskerk, Marolf, Polchinski and Sully (HMPS), we study the reconstruction of operators behind causal horizons in time dependent geometries obtained by acting with shockwaves on pure states or thermal states. These geometries admit a natural basis of gauge invariant operators, namely those geodesically dressed to the boundary along geodesics which emanate from the bifurcate horizon at constant Rindler time. We outline a procedure for obtaining operators behind the causal horizon but inside the entanglement wedge by exploiting the equality between bulk and boundary time evolution, as well as the freedom to consider the operators evolved by distinct Hamiltonians. This requires we carefully keep track of how the operators are gravitationally dressed and that we address issues regarding background dependence. We compare this procedure to reconstruction using modular flow, and illustrate some formal points in simple cases such as AdS$_2$ and AdS$_3$.

研究の動機と目的

• 時間に依存する幾何における因果的ホライズンの背後に位置する局所的バルク演算子を再構成する挑戦に取り組むこと、特に純粋状態または熱的状態にショック波が存在する場合に焦点を当てる。
• 内部が境界から因果的に分離されている動的ブラックホール背景において、標準的なHKLL手順が破綻する状況を解消すること。
• バルク時間発展演算子と境界時間発展演算子の等価性を活用することで、ホライズンの背後に位置するバルク演算子の一貫性のある境界表現を提供すること。
• 特に $\mathcal{O}(G_N)$-補正設定において、演算子再構成における重力的ドレッシングと背景依存性の役割を明確にすること。
• 提案手法をモジュラー流動と比較し、AdS₂およびAdS₃のような簡単なケースで等価性を示すこと。

提案手法

• バルク時間発展演算子と境界時間発展演算子の等価性を活用し、ホライズン外部のコーシー断面から出発して、ホライズンの背後に位置する時間への演算子の時間発展演算を行う。
• 別々のハミルトニアン（具体的には元のハミルトニアンとショックを受けたハミルトニアン）を用いたプルバック／プッシュフォワード手続きを適用し、演算子表現を時間発展演算で前進させる。
• 異なるハミルトニアン下でのヘイゼンベルク境界演算子の線形結合としてバルク演算子を構成し、境界への測地線的ドレッシングによりゲージ不変性を保証する。
• 双曲ホライズンにおける一定のリンドラー時間に沿った測地線に沿った伝播を考慮することで、演算子の重力的ドレッシングを追跡し、ゲージ不変性を確保する。
• 得られた境界表現をモジュラー流動と比較し、AdS₂およびAdS₃のような簡単なケースで等価性を示す。
• 背景依存性と $\mathcal{O}(G_N)$ 補正を扱い、$G_N$ の摂動的展開において一貫性を保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的なHKLL手順が失敗する時間に依存する幾何において、因果的ホライズンの背後に位置する局所的バルク演算子はどのように再構成可能か？
• RQ2 異なるハミルトニアンが、ホライズンの背後に位置するバルク演算子を表す境界演算子を時間発展演算するために果たす役割は何か？
• RQ3 異なる時間発展演算を用いたプルバック／プッシュフォワード手法が、内部演算子の一貫性のある境界表現をどのように得るのか？
• RQ4 結果として得られる境界演算子表現がモジュラー流動とどのように等価であるのか、そしてその等価性が成り立つ条件は何か？
• RQ5 超プランクスケールの物理および負のエネルギーモードは、再構成された演算子の妥当性と構造にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 提案手法は、異なるハミルトニアンを用いた境界演算子の時間発展演算を通じて、因果的ホライズンの背後に位置するゲージ不変なバルク演算子を成功裏に再構成し、バルク時間発展演算と一貫性を保つ。
• 境界における内部演算子の表現が、AdS₂およびAdS₃のような簡単なケースでモジュラー流動と等価であることが示され、一貫性の確認が得られる。
• 特に $\mathcal{O}(G_N)$-補正設定において、重力的ドレッシングと背景依存性を精確に追跡する必要があり、ゲージ不変性を維持する。
• 超プランクスケールの問題を回避できれば、演算子がブラックホール内部の深部に位置していても再構成手順は有効である。
• ホライズンの背後に位置する遅い時間のリンドラーモードは、近似的なキリング対称性に対して負のエネルギーを持つことが示され、それらのモードが状態に依存しないとは限らないが、構築された演算子の線形結合が全エネルギーを低下させ得る。
• このフレームワークは、可通過ワームホール構成が境界表現を検証するのに用いられ得ると示唆しており、それらは内部と境界を因果的に接続するため、標準的なHKLL型再構成が可能になる。