[論文レビュー] Integrable structure of melting crystal model with external potentials

Toshio Nakatsu, Kanehisa Takasaki|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2008

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 28被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、外部ポテンシャルを伴う溶融結晶模型の分配関数が、簡単な係数を除いて1次元Toda階層のtau関数であることを確立する。フェルミオン的表現を用い、転送行列を介して構築し、シフト対称性を有する隠れた量子トーラスリー代数構造を同定することで、著者らは分配関数を標準的なToda tau関数の形に再定式化し、5次元超対称Yang-Mills理論およびトポロジカル弦理論における統合的構造の背後にある本質を明らかにする。

ABSTRACT

This is a review of the authors' recent results on an integrable structure of the melting crystal model with external potentials. The partition function of this model is a sum over all plane partitions (3D Young diagrams). By the method of transfer matrices, this sum turns into a sum over ordinary partitions (Young diagrams), which may be thought of as a model of q -deformed random partitions. This model can be further translated to the language of a complex fermion system. A fermionic realization of the quantum torus Lie algebra is shown to underlie therein. With the aid of hidden symmetry of this Lie algebra, the partition function of the melting crystal model turns out to coincide, up to a simple factor, with a tau function of the 1D Toda hierarchy. Some related issues on 4D and 5D supersymmetric Yang-Mills theories, topological strings and the 2D Toda hierarchy are briefly discussed.

研究の動機と目的

• 外部ポテンシャルを伴う溶融結晶模型の背後にある統合的構造を解明すること。
• フェルミオン的表現を介して、この模型の分配関数を1次元Toda階層に結びつけること。
• 量子トーラスリー代数とそのシフト対称性が、分配関数を標準的なtau関数形に再編成する役割を果たすことを特定すること。
• この模型が5次元および4次元超対称ゲージ理論、およびトーリックCalabi-Yau3-fold上のトポロジカル弦振幅とどのように関係するかを明らかにすること。

提案手法

• 分配関数は、3次元ヤング図式の和を2次元分割の和に再編成するため、転送行列を用いた複素フェルミオン系で表現される。
• 転送行列とフェルミオン双一次形式から、量子トーラスリー代数のフェルミオン的実現が構成される。
• 転送行列とフェルミオン双一次演算子に対して、シフト対称性の関係式が導出され、標準的なToda階層形式への変換が可能になる。
• 分配関数は、1次元Toda階層への還元条件を満たすGL(∞)要素の形に再書き直され、それがtau関数としての性質を確認する。
• トポロジカルバーテックスを介してトポロジカル弦理論と関係づけられ、$Z_p(t)$は$\mathcal{O}\oplus\mathcal{O}(-2)\to\mathbb{CP}^1$の振幅に対応する。
• 量子トーラス代数からの演算子恒等式を用いて、Lax演算子およびOrlov-Schulman演算子に対する制約が導かれ、$q$-deformed弦方程式に類似した形になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 外部ポテンシャルを伴う溶融結晶模型の分配関数は統合的構造を示し、その場合、どの階層に属するか？
• RQ2 分配関数のフェルミオン的表現は、どのように1次元Toda階層の標準的tau関数形に変換可能か？
• RQ3 この模型における転送行列とフェルミオン双一次形式の背後にある代数的構造は何か？
• RQ4 量子トーラスリー代数とそのシフト対称性は、分配関数の再編成をどのように支援するか？
• RQ5 この模型と5次元超対称Yang-Mills理論、トポロジカル弦理論、2次元Toda階層との関係は何か？

主な発見

• 外部ポテンシャルを伴う溶融結晶模型の分配関数$Z_p(t)$は、簡単な係数を除いて1次元Toda階層のtau関数である。
• 転送行列とフェルミオン双一次演算子のシフト対称性を用いて、$Z_p(t)$のフェルミオン的表現が標準的なToda tau関数形に再定式化される。
• 転送行列とフェルミオン双一次構造から、量子トーラスリー代数の実現が出現し、統合的構造の代数的基盤が提供される。
• この模型の分配関数は、$t - \bar{t}$にのみ依存する2次元Toda階層のtau関数と等価であることが示され、1次元Toda階層への還元が示唆される。
• 結果として、$\mathcal{O}\oplus\mathcal{O}(-2)\to\mathbb{CP}^1$上のトポロジカル弦振幅と関連づけられ、$q = e^{-g_{\mathrm{st}}}$および$Q = e^{-a}$となる。
• 量子トーラス代数からの演算子恒等式は、Lax演算子およびOrlov-Schulman演算子に対する制約を導き、$q$-deformed弦方程式に類似した形になる。これは、$W_\infty$代数的構造の$q$-deformationを示唆する。