[論文レビュー] Integrals in Gradshteyn and Ryzhik: Hyperbolic and trigonometric function

Mark W. Coffey|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2018

Analytic Number Theory Research参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、グラドシュタインとリジクの積分表に掲載された双曲・三角関数を含む定積分について、級数展開とHurwitzゼータ関数・ポリガンマ関数との関連を用いて、厳密な証明と拡張を提供する。主な貢献は、$\int_0^\infty \frac{\cosh(bx)}{\sinh(ax)} x^{p-1} dx$ をHurwitzゼータ関数で表した一般積分公式であり、これは4.118～4.124節にわたる複数の項目を統合・拡張する。

ABSTRACT

The well known table of Gradshteyn and Ryzhik contains indefinite and definite integrals of both elementary and special functions. We give proofs of several entries containing integrands with some combination of hyperbolic and trigonometric functions. In fact, we occasionally present an extension of such entries or else give alternative evaluations. We develop connections with special cases of special functions including the Hurwitz zeta function. Before concluding we mention new integrals coming from the investigation of certain elliptic functions.

研究の動機と目的

• グレーデシュタインとリジクの積分表に掲載された双曲・三角関数を含む定積分を、特殊関数の恒等式を用いて厳密に証明・拡張すること。
• これらの積分とHurwitzゼータ関数、ガンマ関数、ポリガンマ関数などの特殊関数との関係を確立すること。
• 特に4.124節において、既存の表記に誤りがあるかどうかを特定し、是正すること。
• 楕円関数の研究およびそのLaurent展開（Hurwitz数を含む）から生じる新たな積分を導出すること。

提案手法

• $\sinh^{-1}(ax)$ および $\cosh^{-1}(ax)$ の幾何級数展開を用いて、$\cosh(bx)/\sinh(ax)$ を含む積分を評価する。
• Hurwitzゼータ関数の積分表示 $\zeta(s,a) = \sum_{n=0}^\infty (n+a)^{-s}$ （$\text{Re}(s) > 1$）を用いて結果を表現する。
• 関数等式 $\zeta(s,a+1) = \zeta(s,a) - a^{-s}$ と既知のRiemannゼータ関数への還元を適用する。
• 関係式 $\psi^{(n)}(x) = (-1)^{n+1} n! \zeta(n+1,x)$ を用いて、積分とポリガンマ関数を結びつける。
• 解析接続および積分記号下での微分を用いて、既知の項目の同等な表現を導出する。
• Weierstrass $\wp$-関数の性質とそのLaurent展開（Hurwitz数を含む）を用いて、新たな積分を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グレーデシュタインとリジクの積分表に掲載された双曲・三角関数を含む積分は、特殊関数の恒等式を用いてどのように厳密に証明できるか？
• RQ2 積分 $\int_0^\infty \frac{\cosh(bx)}{\sinh(ax)} x^{p-1} dx$ の一般形は何か？ そして、Hurwitzゼータ関数とどのように関係するか？
• RQ3 引用された表記に誤りがあるかどうか、特に4.124節においては、その是正はどのように行えるか？
• RQ4 楕円関数展開に現れる数論的性質を持つHurwitz数から、新たな積分を導出できるか？

主な発見

• 一般式が導出された：$\int_0^\infty \frac{\cosh(bx)}{\sinh(ax)} x^{p-1} dx = \frac{\Gamma(p)}{(2a)^p} \left[ \zeta\left(p, \frac{a-b}{2a}\right) + \zeta\left(p, \frac{a+b}{2a}\right) \right] $ （$\text{Re}(p) > 1$ かつ $|\text{Re}(b)| < |\text{Re}(a)|$）。
• この結果により、既知の項目3.523.1および3.524.5が回復され、解析接続および微分を用いた同等性が確立された。
• $p=2$ の場合、積分は $\frac{\pi^2}{4a^2} \sec^2\left(\frac{\pi b}{2a}\right)$ に評価され、三角ガンマ関数の反射公式により4.111.6番の記述が確認された。
• 4.124.1番の誤りを是正した改訂版が提案され、元の資料において4.124.1番と4.124.2番の引用が逆転している可能性があるという証拠が示された。
• 周期 $\tilde{\omega}$ および $\tilde{\omega}i$ を持つWeierstrass $\wp$-関数のLaurent展開を用いて、Hurwitz数を含む新たな積分が導出された。
• 具体的な新結果として、$\int_0^\infty \frac{(\cos t + 1)}{\cosh t - \cos t} \left[ \sinh(t/2) - \sin(t/2) \right] dt = 1 - \frac{\pi}{4}$ および $\int_0^\infty \frac{(\cos t + 1)t}{\cosh t - \cos t} \left[ \cosh(t/2) - \cos(t/2) \right] dt = \tilde{\omega}^2 - 4$ が得られ、ここで $\tilde{\omega} = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)}$ である。