[論文レビュー] Integrated Finite Element Neural Network (I-FENN) for non-local continuum damage mechanics

Panos Pantidis, Mostafa E. Mobasher|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2022

Model Reduction and Neural Networks被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、訓練済みのニューラルネットワークを有限要素法に埋め込むことで、効率的でメッシュに依存しない非局所連続体損傷解析を可能にする、物理学に基づいたフレームワークである統合有限要素ニューラルネットワーク（I-FENN）を提案する。非局所等效力およびその微分を物理学に基づいたニューラルネットワーク（PINN）で計算することで、I-FENNは非局所モデルの精度を実現しつつ、局所的手法の計算コストに抑え、追加の計算オーバーヘッドなしにメッシュ依存性を解消する。

ABSTRACT

We present a new Integrated Finite Element Neural Network framework (I-FENN), with the objective to accelerate the numerical solution of nonlinear computational mechanics problems. We leverage the swift predictive capability of neural networks (NNs) and we embed them inside the finite element stiffness function, to compute element-level state variables and their derivatives within a nonlinear, iterative numerical solution. This process is conducted jointly with conventional finite element methods that involve shape functions: the NN receives input data that resembles the material point deformation and its output is used to construct element-level field variables such as the element Jacobian matrix and residual vector. Here we introduce I-FENN to the continuum damage analysis of quasi-brittle materials, and we establish a new non-local gradient-based damage framework which operates at the cost of a local damage approach. First, we develop a physics informed neural network (PINN) to resemble the non-local gradient model and then we train the neural network offline. The network learns to predict the non-local equivalent strain at each material point, as well as its derivative with respect to the local strain. Then, the PINN is integrated in the element stiffness definition and conducts the local to non-local strain transformation, whereas the two PINN outputs are used to construct the element Jacobian matrix and residual vector. This process is carried out within the nonlinear solver, until numerical convergence is achieved. The resulting method bears the computational cost of the conventional local damage approach, but ensures mesh-independent results and a diffused non-local strain and damage profile. As a result, the proposed method tackles the vital drawbacks of both the local and non-local gradient method, respectively being the mesh-dependence and additional computational cost.

研究の動機と目的

• 従来の非局所手法の高い計算コストを回避しつつ、局所損傷モデルのメッシュ依存性の問題を解決すること。
• ニューラルネットワークを有限要素法に統合することで、非線形計算力学シミュレーションを高速化するフレームワークを開発すること。
• 最小限の計算オーバーヘッドで、準破壊材料における正確で拡散した損傷プロファイルを実現する非局所勾配ベース損傷モデルを提供すること。
• 非局所ひずみ関係に基づいてトレーニングされた物理学に基づいたニューラルネットワーク（PINN）により、物理的整合性と一般化能力を確保すること。
• PINN部のトレーニングコードとデータを公開することで、再現可能でオープンソースのソリューションを提供すること。

提案手法

• 非局所勾配モデルに基づき、非局所等效力およびその局所ひずみに関する微分を予測する物理学に基づいたニューラルネットワーク（PINN）をオフラインでトレーニングする。
• トレーニング済みのPINNを有限要素法の要素剛性行列に埋め込み、ニュートン・ラプソン反復中に局所ひずみから非局所ひずみへの変換を実行する。
• PINNの出力を用いて、非線形ソルバー内での要素の残留ベクトルおよびヤコビ行列を直接計算し、従来の非局所統合スキームを置き換える。
• 修正された要素レベルのヤコビ行列および残留ベクトルを用いて、標準的なFEMの構造を保ちつつ、グローバル方程式系を構築する。
• PINNの予測値を変分原理の弱形式に統合することで、基礎となる力学およびエネルギーに基づく定式化と整合性を保つ。
• 形状関数および等パラメトリック要素を活用して、節点変位をひずみ場にマッピングし、積分点における非局所変換をPINNが処理する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限要素法にニューラルネットワークを埋め込むことで、非局所損傷モデルの精度を実現しつつ、局所モデルの計算効率を維持できるか？
• RQ2 物理学に基づいたニューラルネットワーク（PINN）をどのようにトレーニングすれば、非局所等效力およびその微分を正確に近似し、メッシュ依存性を解消できるか？
• RQ3 I-FENNフレームワークは、従来の非局所FEMと比較して、非線形反復ソルバーにおける収束性と安定性をどの程度維持できるか？
• RQ4 再トレーニングなしに、異なるメッシュ密度および荷重条件に対して一般化できるか？
• RQ5 有限要素法の剛性行列にPINNを統合することで、物理的整合性を保ちつつ計算コストを削減できるか？

主な発見

• I-FENNフレームワークは、準破壊損傷シミュレーションにおいてメッシュに依存しない結果を達成し、局所損傷モデルに一般的に見られる不自然なメッシュ感受性を解消した。
• I-FENNの計算コストは、非局所効果を組み込んでいるにもかかわらず、従来の局所損傷アプローチと同等であった。
• PINNは非局所ひずみ変換を適切に学習し、勾配強化モデルと整合した拡散損傷プロファイルを生成した。
• ニュートン・ラプソン反復において数値的収束性が維持され、収束許容誤差は$10^{-4}$から$10^{-6}$の範囲に設定された。
• 複数の数値例を通じて、異なるメッシュ密度および荷重条件において強い一般化能力を示した。
• 著者らはPINNトレーニングコードおよび関連データを公開し、完全な再現性と今後の手法の拡張を可能にした。