[論文レビュー] Integration of Singular Subalgebroids

Iakovos Androulidakis, Marco Zambon|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 24被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、リー代数群の理論における特異的 foliation の一般化である特異的部分代数群に対して、微分・統合の対応関係を導入することによって、特異的部分代数群のためのリー理論を構築する。主な貢献は、ホロノミー群作用素を自然な微分可能多様体的対象として回復するグローバル統合手続きであり、正則な場合に標準的なリー群作用素の統合に還元される。

ABSTRACT

We establish a Lie theory for singular subalgebroids, objects which generalize singular foliations to the setting of Lie algebroids. First we carry out the longitudinal version of the theory. For the global one, a guiding example is provided by the holonomy groupoid, which carries a natural diffeological structure in the sense of Souriau. We single out a class of diffeological groupoids satisfying specific properties and introduce a differentiation-integration process under which they correspond to singular subalgebroids. In the regular case, we compare our procedure to the usual integration by Lie groupoids. We also specify the diffeological properties which distinguish the holonomy groupoid from the graph.

研究の動機と目的

• 特異的 foliation がリー代数群理論の中で一般化される文脈において、特異的部分代数群のためのリー理論を拡張すること。
• 特定のクラスの微分可能多様体的群作用素と特異的部分代数群との間のグローバル微分・統合対応関係を確立すること。
• ホロノミー群作用素の微分可能多様体的構造を明確にし、作用のグラフとは区別すること。
• 部分代数群が正則である場合に、標準的なリー群作用素統合が特別なケースとして回復されることを示すこと。
• グローバル設定への拡張の前に、理論の縦断的バージョンを提供すること。

提案手法

• リー代数群の枠組みを用いて、特異的部分代数群のための縦断的リー理論を導入すること。
• 特定の可積分性および滑らかさの条件を満たす微分可能多様体的群作用素のクラスを定義すること。
• そのような微分可能多様体的群作用素から特異的部分代数群への微分写像を構成すること。
• 部分代数群から群作用素を自然な対応関係によって回復する統合プロセスを確立すること。
• スールオーの微分可能多様体的構造を用いて、ホロノミー群作用素に滑らかさ構造を付与し、理論と整合性を持たせること。
• 提案された統合手続きを正則な場合の古典的リー群作用素統合と比較し、一貫性を示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異的 foliation とリー代数群の両方を一般化する特異的部分代数群のためのリー理論は、どのように構築できるか？
• RQ2 微分によって特異的部分代数群に対応する自然なクラスの微分可能多様体的群作用素は何か？
• RQ3 この枠組みにおいて、ホロノミー群作用素はどのように微分可能多様体的対象として現れるか？
• RQ4 微分可能多様体的設定において、ホロノミー群作用素と作用のグラフとは、どのような構造的性質で区別されるか？
• RQ5 提案された統合手続きは、正則な場合にどのようにして標準的なリー群作用素統合に還元されるか？

主な発見

• 特定のクラスの微分可能多様体的群作用素と特異的部分代数群との間で、微分・統合対応関係が確立された。
• ホロノミー群作用素は自然に微分可能多様体的構造を備えており、統合プロセスと整合的である。
• 理論は古典的リー理論を一般化する：正則な場合に、統合手続きは通常のリー群作用素統合を回復する。
• ホロノミー群作用素に与えられる微分可能多様体的構造は、作用のグラフとは異なり、その内在的な幾何的役割を強調する。
• 縦断的理論は、グローバル構成の基礎的枠組みを提供する。
• この枠組みにより、リー代数群の広範な文脈における特異的 foliation の体系的取り扱いが可能になる。