[論文レビュー] Integration Theory for Zero Sets of Polyfold Fredholm Sections

Helmut Hofer, Kris Wysocki+1 more|ArXiv.org|Nov 6, 2007

Finite Group Theory Research参考文献 7被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、特異性や対称性のため一般に多様体でない対象である多変数関数の零点集合に対して、局所的な分岐構造と対称性を考慮した「分岐積分」を導入することで、きめ細かい統合理論を構築する。主な貢献は、非多様体な解空間に対しても成立するこの積分のストークスの定理の確立であり、これはシンプレクティック場理論や関連分野における不変量の定義を可能にする。

ABSTRACT

In this paper we develop an integration theory for zero sets of polyfold Fredholm sections. The results are needed in the application of the polyfold theory. We use it for example in the construction of symplectic field theory.

研究の動機と目的

• 特異性や対称性のため一般に多様体でない多変数関数の零点集合に対するきめ細かな統合理論を確立すること。
• 解空間の病理的構造にもかかわらず、その内在的な幾何を捉えるために、圏内の同型類のオブジェクトに対する統合の概念を定義すること。
• 多様体理論における古典的統合およびストークスの定理を、多変数関数理論に現れる分岐構造およびコーナー構造を持つ空間へと拡張すること。
• トランバーシャルが一般に成立しないシンプレクティック場理論や関連する幾何理論における不変量の定義のための基盤を提供すること。

提案手法

• 多変数関数の零点集合に自然なσ代数を定義することで、「分岐積分」の概念を導入し、非多様体空間上での微分形式の統合を可能にする。
• sc滑らか分点分割とsc微分形式のポincare補題を用いて、レベル1およびレベル0集合上での閉形式の局所的原始を構成する。
• ep群コロイドにおける平均化技術を適用し、不変形式を構成し、局所解を対称性構造を保ったまま大域的に拡張する。
• スプライシングコアと退化インデックスdを用いて、点をその局所モデル（内部、境界、コーナー）によって分類し、分岐行動の局所的解析を可能にする。
• 自然な射影r: V×E → Kによる微分形式のプッシュバックを構成し、問題を標準解析が適用可能なモデル空間に還元する。
• 滑らかな点の近傍で定義された閉じたsc微分形式ωに対して、積分をt∈[0,1]に沿って行うことで、dτ = ωがレベル1集合上で成り立つような局所的(k−1)形式τが存在することを証明する。具体的には、τ(y)(v₁,…,vₖ₋₁) = ∫₀¹ tᵏ⁻¹ ω(ty)(y,v₁,…,vₖ₋₁) dt と表される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異性や対称性のため一般に多様体でない多変数関数の零点集合に対して、どのように統合を定義できるか？
• RQ2 分岐構造およびコーナー構造を持つ非多様体な解空間上の微分形式に対して、ストークスの定理を一般化することは可能か？
• RQ3 群コロイドの対称性および局所同型の役割は、このような解集合に対する一貫性のある統合理論を構築する上で果たすか？
• RQ4 多変数関数理論における退化（例えば境界点やコーナー点）を有する空間上での閉微分形式の局所的原始を、どのように構成できるか？

主な発見

• 多変数関数の零点集合に自然なσ代数が構成され、非多様体な解空間上での微分形式の統合が可能になる。
• 多変数関数の滑らかな点の近傍で定義された任意の閉じたsc微分形式ωに対して、dτ = ωがレベル1集合上で成り立つような局所的(k−1)形式τが存在することが、t∈[0,1]に沿った積分を用いたパrametrized形式により証明された。
• スプライシングコア上でsc微分形式のポincare補題が成り立つため、閉形式の局所的完全性が保証され、原始の構成の基盤が提供される。
• ep群コロイドの設定において、飽和開近傍Uとdτ = ωがU¹上で成り立つような(k−1)形式τの存在が、平均化およびモデル空間からの形式の持ち上げによって確立された。
• 分岐積分においてもストークスの定理のバージョンが有効であり、これは底面の空間が多様体でない場合でも成立する。
• この枠組みにより、トランバーシャルでないか、滑らかでない解空間に対しても統合が可能となり、シンプレクティック場理論やグロモフ＝ウィッテン理論への応用に適している。