[論文レビュー] Interacting time-fractional and $\Delta^{ u}$ PDEs systems via Brownian-time and Inverse-stable-L\'evy-time Brownian sheets

Hassan Allouba, Erkan Nane|arXiv (Cornell University)|May 3, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ブラウン運動時刻ブラウン・シート（BTBS）と逆スターブ・レヴィ時刻ブラウン・シート（ISLTBS）の間で、相互作用する時間分数階および高階PDE系とを結ぶ、新規な確率的接続を確立する。確率解析、分数級微積分、フーリエ・ラプラス変換を用いて、分数階PDE系と高階PDE系の間の条件付き同等性を証明し、初期データの空間ラプラシアンを通じて記憶を保持する解を示す。主な貢献は、多パrameter確率過程を、内在的な相互作用と記憶効果を持つ結合PDE系に結びつける統一的枠組みを提供することにある。

ABSTRACT

Lately, many phenomena in both applied and abstract mathematics and related disciplines have been expressed in terms of high order and fractional PDEs. Recently, Allouba introduced the Brownian-time Brownian sheet (BTBS) and connected it to a new system of fourth order interacting PDEs. The interaction in this multiparameter BTBS-PDEs connection is novel, leads to an intimately-connected linear system variant of the celebrated Kuramoto-Sivashinsky PDE, and is not shared with its one-time-parameter counterpart. It also means that these PDEs systems are to be solved for a family of functions, a feature exhibited in well known fluids dynamics models. On the other hand, the memory-preserving interaction between the PDE solution and the initial data is common to both the single and the multi parameter Brownian-time PDEs. Here, we introduce a new---even in the one parameter case---proof that judiciously combines stochastic analysis with analysis and fractional calculus to simultaneously link BTBS to a new system of temporally half-derivative interacting PDEs as well as to the fourth order system proved earlier and differently by Allouba. We then introduce a general class of random fields we call inverse-stable-L\'evy-time Brownian sheets (ISLTBSs), and we link them to $\beta$-fractional-time-derivative systems of interacting PDEs for $0<\beta<1$. When $\beta=1/ u$, $ u\in\lbr2,3,... br$, our proof also connects an ISLTBS to a system of memory-preserving $ u$-Laplacian interacting PDEs. Memory is expressed via a sum of temporally-scaled $k$-Laplacians of the initial data, $k=1,..., u-1$. Using a Fourier-Laplace-transform-fractional-calculus approach, we give a conditional equivalence result that gives a necessary and sufficient condition for the equivalence between the fractional and the high order systems. In the one parameter case this condition automatically holds.

研究の動機と目的

• ブラウン運動時刻ブラウン・シート（BTBS）と、時間的半微分および4次相互作用PDE系との間で、新たな確率的接続を確立すること。
• 逆スターブ・レヴィ時刻ブラウン・シート（ISLTBS）を導入し、0 < β < 1 に対して、β分数時刻微分系の相互作用PDE系に結びつけること。
• フーリエ・ラプラス変換と分数級微積分を用いて、高階PDE系と分数階PDE系の間の条件付き同等性を証明すること。
• 初期データ f 及びその導関数の有界性仮定を緩和し、f 及びその導関数の可積分性と成長条件を導入することで、有界性仮定を超えた結果の拡張を図ること。
• 解における記憶効果が、初期データの空間ラプラシアン ∆x^k（k = 1, ..., ν−1）による時間スケーリングされた和を通じて、ν-ラプラシアン系において符号化されていることを示すこと。

提案手法

• 伊藤の公式、ブラウン・シートの性質、分数級微積分を統合した一様な確率的解析的証明を用い、BTBSを同時に半微分および4次相互作用PDE系に結びつける。
• 各時刻パラメータを逆スターブ・レヴィ過程に置き換えることで、BTBSの一般化としてISLTBSを導入する。
• フーリエ・ラプラス変換・分数級微積分の手法を適用し、高階PDE系と分数階PDE系の間の条件付き同等性を導出する。
• 分数階PDE系と高階PDE系の同等性に必要な十分条件を導出し、1パラメータ系では自動的に成立することを示す。
• ブラウン運動時刻フェインマン・カック公式を用いて、解を絶対的ブラウン運動または逆スターブ・レヴィ過程によって時間変更されたブラウン運動経路上の期待値として表現する。
• 初期データ f 及びその導関数の有界性仮定を、式 (3.1) に含まれるBS密度およびその導関数を用いた可積分性と成長条件の導入により緩和する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブラウン運動時刻ブラウン・シート（BTBS）は、どのようにして時間分数階および4次PDE系の相互作用系を生成できるか？
• RQ2 BTBS および ISLTBS に結びついた高階PDE系と分数階PDE系の間の条件付き同等性の条件は何か？
• RQ3 これらのPDE系の解における記憶効果はどのように現れ、初期データの空間ラプラシアンを通じてどのように符号化されるか？
• RQ4 f 及びその導関数の有界性条件を、PDEの接続を保ちつつ緩和できるか？
• RQ5 逆スターブ・レヴィ過程は、β分数時刻微分系の相互作用PDE系を生成する際に果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、1パラメータ系において、BTBSと時間的半微分相互作用PDE系との間で、新規な確率的解析的接続を証明した。
• BTBSに基づく4次PDE系と時間分数階PDE系との間で、条件付き同等性を確立した。1パラメータ系では、この条件が自動的に満たされる。
• β = 1/ν（ν ∈ {2, 3, ...}）のISLTBSに対して、プロセスが記憶を保持するν-ラプラシアン相互作用PDE系に結びつき、初期データの時間スケーリングされたk-ラプラシアン（k = 1, ..., ν−1）の和を通じて実現される。
• 分数階PDEの解 V(j)(t, x) は ∂βtj V(j)(t, x) = 1/2 ∆x V(j)(t, x) を満たし、分数階PDEとの接続を確認する。
• f 及びその導関数の有界性仮定は、可積分性と成長条件 (3.1) に置き換え可能であり、f が多項式的成長を示し、その導関数がホルダー連続であれば満たされる。
• ν = 1/2（つまり β = 1/2）の場合にも結果は拡張可能であり、密度カーネルのわずかなスケーリング調整を施すことで、BTBSに基づく4次PDE系が回復される。