[論文レビュー] Interaction in Quantum Communication Complexity

Ashwin Nayak, Amnon Ta‐Shma+1 more|ArXiv.org|May 25, 2000

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、量子通信プロトコルにおける相互作用の増加が、通信複雑性を指数関数的に削減できることを示しており、すべての量子プロトコルを低メッセージ形式に単純化できる可能性に反する。任意の定数 $k$ に対して、$k+1$ メッセージでは $O(\log N)$ 通信が可能であるが、$k$ メッセージでは $\Omega(N^{1/(k+1)})$ ビットの量子状態が必要となる問題が存在することを示し、メッセージ複雑性の間で超多項式的な分離を確立している。

ABSTRACT

One of the most intriguing facts about communication using quantum states is that these states cannot be used to transmit more classical bits than the number of qubits used, yet there are ways of conveying information with exponentially fewer qubits than possible classically. Moreover, these methods have a very simple structure---they involve little interaction between the communicating parties. We look more closely at the ways in which information encoded in quantum states may be manipulated, and consider the question as to whether every classical protocol may be transformed to a ``simpler'' quantum protocol of similar efficiency. By a simpler protocol, we mean a protocol that uses fewer message exchanges. We show that for any constant k, there is a problem such that its k+1 message classical communication complexity is exponentially smaller than its k message quantum communication complexity, thus answering the above question in the negative. Our result builds on two primitives, local transitions in bi-partite states (based on previous work) and average encoding which may be of significance in other applications as well.

研究の動機と目的

• すべての効率的な量子通信プロトコルが、通信コストを増加させずにメッセージ交換回数を減らせるかどうかを調査すること。
• 特に、最小通信プロトコルが本質的に最小の相互作用を必要とするかどうかを含め、量子通信複雑性における相互作用の役割を特定すること。
• メッセージ交換回数と量子通信複雑性の間に分離を確立し、より多くのメッセージが通信コストを劇的に削減できることを示すこと。
• プロトコルの制限を分析するために、平均符号化および双対状態における局所的遷移といった新しい量子情報理論的ツールを開発すること。

提案手法

• 平均符号化定理を導入：入力 $X$ が一様ランダムな場合に、量子符号化 $Q$ と $X$ の相互情報量 $I(Q:X)$ が小さいならば、平均状態 $\sigma = \frac{1}{2^m}\sum_x \sigma_x$ は各 $\sigma_x$ を $2\sqrt{I(Q:X)}$ の誤差内で近似する。
• 最初のメッセージを純化してアリスが送信するように変更したプロトコル $\mathcal{P}'$ を使用し、ボブが局所的操作で元のプロトコルをシミュレート可能であることを示す。
• 平均符号化定理を適用して、$k$ メッセージプロトコルにおける最初のメッセージを、低誤差の固定状態に置き換えることができ、メッセージ数を $k-1$ に削減できることを示す。
• 相互情報量の不等式を用いて、各メッセージあたりの漏洩情報量を制限し、$\sum_i \mu_i \leq \ell_1$ が成り立つことを示す。ここで $\ell_1$ は最初のメッセージの長さである。
• 最初のメッセージを純化し、局所的ユニタリ変換を用いて元のプロトコルをシミュレートすることで、$k$ メッセージプロトコルを $k-1$ メッセージプロトコルに還元する。
• ポインタジャンピング問題の部分問題に基づく問題を構築し、$k+1$ メッセージでは $O(\log N)$ 通信が可能だが、$k$ メッセージでは $\Omega(N^{1/(k+1)})$ ビットが必要となることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての古典的通信プロトコルを、メッセージ交換回数を減らしたが通信コストはほぼ同じであるような単純化された量子プロトコルに変換できるか？
• RQ2 量子プロトコルにおいて、メッセージ数と通信コストの間に根本的なトレードオフが存在するか？
• RQ3 最小の相互作用（例：ワンウェイ）を伴う量子プロトコルが、多メッセージプロトコルと同等の効率を達成できるか？
• RQ4 量子プロトコルにおいて、メッセージ交換回数を増やすことで得られる通信複雑性の最大の利点は何か？
• RQ5 平均符号化や局所的遷移といった量子情報理論的ツールを、通信複雑性の分析および上限評価にどう応用できるか？

主な発見

• 任意の定数 $k$ に対して、$k+1$ メッセージ量子プロトコルでは $O(\log N)$ 通信が可能であるが、$k$ メッセージプロトコルでは $\Omega(N^{1/(k+1)})$ ビットが必要となる問題が存在する。
• 離別問題（DISJ）における $k$ メッセージプロトコルの下界は $\Omega(N^{1/k(k+1)})$ であり、既存の境界を改善している。
• 平均符号化定理により、量子符号化が入力と低い相互情報量を持つ場合、平均状態が各符号化状態を誤差 $2\sqrt{I(Q:X)}$ 内で近似できることを示している。
• $k$ メッセージプロトコルにおける最初のメッセージは、純化されアリスによって送信可能であり、同じ成功確率と通信コストで $k-1$ メッセージプロトコルに置き換えられる。
• 各メッセージ $M$ に対する相互情報量 $I(M:Y_i)$ は $M$ の長さによって制限され、$\sum_i \mu_i \leq \ell_1$ が成り立つ。この不等式はプロトコルのシミュレーションにおける誤差を制御するために用いられる。
• この結果は、ワンウェイ量子プロトコルが多メッセージプロトコルを効率的にシミュレートできないことを示しており、メッセージ数が減ると通信コストが指数関数的に増加する。