[論文レビュー] Interaction of modulated pulses in the nonlinear Schroedinger equation with periodic potential

Johannes Giannoulis, Alexander Mielke+1 more|ArXiv.org|May 1, 2007

Nonlinear Photonic Systems参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、周期的ポテンシャルを伴う三次非線形シュレーディンガー方程式における変調されたパルスのための振幅方程式の体系的導出を、二重スケール漸近展開を用いて行っている。主な貢献は、複数のブロッホバンドをまたがる非線形四波混合を、マクロなスケールで記述可能にする「閉じたモード系」の導入であり、パルスが異なるエネルギー準位に集中している場合でも有効である。

ABSTRACT

We consider a cubic nonlinear Schroedinger equation with periodic potential. In a semiclassical scaling the nonlinear interaction of modulated pulses concentrated in one or several Bloch bands is studied. The notion of closed mode systems is introduced which allows for the rigorous derivation of a finite system of amplitude equations describing the macroscopic dynamics of these pulses.

研究の動機と目的

• 周期的ポテンシャルを伴う非線形シュレーディンガー方程式に対する従来のWKB型近似を、複数のブロッホバンドに集中する初期データに拡張すること。
• 半古典的領域における異なるエネルギー準位間の非線形パルス相互作用という未解決問題に取り組むこと。
• このようなパルスのマクロなダイナミクスを記述する有限系の振幅方程式を厳密に導出すること。
• 非線形相互作用（特に四波混合）がマクロな時間・空間スケールで安定している条件を特定すること。

提案手法

• 半古典的極限（ε ≪ 1）において、解を変調された平面波として近似する二重スケール漸近展開法を用いる。
• 振幅方程式における共鳴条件が保たれるように、十分な次数Λの「閉じたモード系」の概念を導入する。
• 異なるブロッホバンド内のパルス間の四波混合をモデル化する非線形振幅方程式系（1.5）を導出する。
• ブロッホ固有値問題と周期的ハミルトニアン構造を用いて、解をバンド固有の成分に分解する。
• 適切にスケーリングされたソボレフ空間において近似の妥当性を確立し、誤差項をO(ε)とする。
• 振幅系のハミルトニアン構造を分析し、L²ノルムや運動量に類似した保存量を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 異なるブロッホバンド内のパルス間の非線形相互作用が、有限の振幅方程式系によって記述可能となる条件は何か？
• RQ2 周期的ポテンシャルを伴う三次NLSにおける非線形性は、どのように異なるブロッホバンド間のエネルギーまたは質量の移動を媒介するか？
• RQ3 マクロな時間スケールで振幅系の有効性を維持するために必要な構造的条件（例えば、共鳴条件）は何か？
• RQ4 閉じたモード系の概念を用いて、多バンドパルス相互作用のマクロなダイナミクスを厳密に正当化できるか？
• RQ5 振幅系に現れる保存量は何か？それらは元のNLS方程式の対称性とどのように関係するか？

主な発見

• 周期的ポテンシャルを伴う非線形シュレーディンガー方程式の解は、スケーリングされたソボレフノルムにおいて、誤差O(ε)で異なるブロッホバンド内の変調された平面波の重ね合わせとして近似可能である。
• 次数Λ（空間次元dに依存）の閉じたモード系を導入することで、四波混合の共鳴条件が振幅方程式に正確に保持される。
• 導出された振幅系（1.5）は、L²ノルムや運動量に類似した保存量を持つハミルトニアン系であり、位相対称性および並進対称性に起因する。
• 振幅系の簡略化されたハミルトニアン構造は、元のハミルトニアンの直接的な展開ではなく、二重スケール漸近展開から生じる独立した有効ダイナミクスである。
• この系は、バンド内およびバンド間の非線形相互作用を許容し、三次非線形性のおかげで異なるブロッホバンド間でのエネルギー移動を可能にする。
• 導出した動的系の導関数項が不定的であるため、κの符号のみでは振幅系の解のグローバル存在を保証できない。