[論文レビュー] Interplay Between Approximation Theory and Renormalization Group

V. I. Yukalov|arXiv (Cornell University)|May 24, 2021

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 307被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、小さなパラメータが存在しない状況においても、発散する摂動級数を正確に和算できる2つの高度な近似手法—最適化摂動理論（OPT）と自己同一的近似理論（SSAT）—を提示する。制御関数を導入し、近似列を力学的系としてモデル化することで、収束性を回復させ、正確な解や数値結果を高い精度で再現する。この手法は、重正化群理論におけるものと類似した隠れた対称性を明らかにする。

ABSTRACT

The review presents general methods for treating complicated problems that cannot be solved exactly and whose solution encounters two major difficulties. First, there are no small parameters allowing for the safe use of perturbation theory in powers of these parameters, and even when small parameters exist, the related perturbative series are strongly divergent. Second, such perturbative series in powers of these parameters are rather short, so that the standard resummation techniques either yield bad approximations or are not applicable at all. The emphasis in the review is on the methods advanced and developed by the author. One of the general methods is {\it Optimized Perturbation Theory} now widely employed in various branches of physics, chemistry, and applied mathematics. The other powerful method is {\it Self-Similar Approximation Theory} allowing for quite simple and accurate summation of divergent series. These theories share many common features with the method of renormalization group, which is briefly sketched in order to stress the similarities in their ideas and their mutual interconnection.

研究の動機と目的

• 小さなパラメータが存在しない非線形・強く結合された問題を解く挑戦に応えること。標準的摂動論は、このような状況で失敗する。
• 制御関数と自己同一的力学を用いて、わずか数項しか入手できない状況でも、発散する漸近級数を体系的に和算する手法を開発すること。
• 固定点行動や隠れた対称性といった共通の原理を強調することで、近似理論と重正化群理論の間の概念的・数学的橋渡しを確立すること。
• 量子場理論、統計力学、凝縮系物理学、原子物理学にわたり、Exact solutionの回復や数値データとの一致を含む応用を通じて、これらの手法の有効性を示すこと。

提案手法

• 最適化摂動理論は、初期近似または摂動展開に制御関数を導入することで、発散級数を再編成し、コーシーの収束基準から導かれる最適化条件によって収束を保証する。
• 最適化条件（最小差分基準や最小微分基準など）は、コーシーの基準から論理的に導かれるため、自己備蓄性が保証され、恣意的・直感的な処置を回避する。
• 自己同一的近似理論は、近似列を離散的力学系（近似カスケード）としてモデル化し、フラクタル変換を用いて連続的流れに埋め込むことで収束を加速する。
• 自己同一的構造に基づき、根近似、ネスト近似、指数近似、加法的近似、因子近似、および組み合わせ近似といったさまざまな近似を構築する。これにより、結合定数の有限値または無限大値への正確な外挿しが可能になる。
• 近似流れの安定性解析を用いて収束を保証する。これは、重正化群における固定点解析に類似している。
• 両手法とも、利用可能なExact solutionを回復することができ、わずか数個の摂動項でも、数値計算結果と極めて良好に一致する結果をもたらすことが示された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 小さなパラメータが存在しない、あるいは級数が強く発散する状況において、どのようにして発散する摂動級数を体系的に和算できるか？
• RQ2 摂動展開における収束を最適化するための制御関数を構築する数学的・物理的根拠は何か？
• RQ3 近似列に見られる自己同一的構造を、重正化群の流れに類似した力学的現象としてモデル化できる範囲はどの程度か？
• RQ4 提案手法が、わずか数項でExact solutionを回復するか、数値結果と一致する仕組みは何か？
• RQ5 漸近的列に潜む隠れた対称性の役割は何か？また、制御関数や変換則を用いてそれらをどのように特定できるか？

主な発見

• わずか数個の摂動項で物理的量を高い精度で近似可能であり、利用可能な場合には数値解と極めて近い一致を示す。
• 自己同一的近似理論は、調和的振動子の固有値問題やヘリウム原子の基底状態エネルギーといった問題で、正確な解を成功裏に再構成した。
• 臨界現象の分野では、スピン系やボーズガスの臨界指数を正確に予測し、他の手法による既知の結果と一致した。
• 量子色力学（QCD）や量子電磁力学（QED）といった量子場理論においても、自己同一的要因近似を用いてGell-Mann-Low関数を高精度で再構成した。
• コーシーの基準から導かれた最適化条件は論理的整合性を保証し、収束速度が速い挙動を示す。これは、ヒューリスティックな処置とは明確に区別される。
• この枠組みは、近似理論と重正化群理論の間に深い関係を明らかにした。両者とも、漸近的列における固定点力学と隠れた対称性原理に依拠していることが示された。