[論文レビュー] Intersection numbers of extremal rays on holomorphic symplectic varieties

Brendan Hassett, Yuri Tschinkel|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非可約なホロモルフィックシンプレクティック多様体上の極小ラジアルの交点数を規定する普遍的な有理定数 $ c_X $ を提案する。これはK3表面の場合の一般化である。本稿では、有効的コーン $ \overline{\mathrm{NE}}_1(X) $ が、極小ラジアル $ R \in \mathrm{N}_1(X,\mathbb{Z}) $ で $ (R,R) \geq -c_X $ かつ極小ラジアルが極小化に正の交点を持つものによって生成されることを示し、特に点付きヒルベルトスキーム $ S^{[n]} $ およびクーマー多様体 $ K_n(A) $ に対してこの主張を証明している。ここで $ c_X = (n+3)/2 $ および $ c_X = 2/(g+1) $ である。

ABSTRACT

We propose a general framework governing the intersection properties of extremal rays of irreducible holomorphic symplectic manifolds under the Beauville-Bogomolov form. Our main thesis is that extremal rays associated to Lagrangian projective subspaces control the behavior of the cone of curves. We explore implications of this philosophy for examples like Hilbert schemes of points on K3 surfaces and generalized Kummer varieties. We also collect evidence supporting our conjectures in specific cases.

研究の動機と目的

• K3表面における極小的および有効的コーンの明示的記述を、高次元の非可約ホロモルフィックシンプレクティック多様体へ拡張すること。
• 多様体 $ X $ の変形型にのみ依存する普遍的な有理定数 $ c_X $ を特定し、極小曲線類の自己交点を界にする。
• 極小曲線コーン $ \mathrm{NE}_1(X) $ を交点理論的条件 $ (R,R) \geq -c_X $ および極小化 $ g $ に対する $ R \cdot g > 0 $ を用いて特徴付けること。
• 点付きヒルベルトスキーム $ S^{[n]} $、クーマー多様体 $ K_n(A) $、およびラグランジュ的 $ \mathbb{P}^n $-ファイブレーションといった特定の変形型に対して、予想を検証すること。
• 極小ラジアルの幾何と双有理収縮、特に除法的収縮との関係を関係づけ、有効的除法コーンの構造を特定すること。

提案手法

• ホロモルフィックシンプレクティック多様体 $ X $ のベイユ＝ボゴモロフ形式を用いて、$ H_2(X,\mathbb{Z}) $ 上に $ \mathbb{Q} $-値の交点形式を定義し、これが曲線および除法の交点数を支配する。
• ヒルベルトスキーム $ S^{[n]} $ に対して、$ H^2(X,\mathbb{Z}) $ を $ H^2(S,\mathbb{Z}) \oplus_\perp \mathbb{Z}\delta $ に分解し、$ (\delta,\delta) = -2(n-1) $ とし、双対を取って $ \delta^\vee $ を得る。ここで $ (\delta^\vee,\delta^\vee) = -1/2(n-1) $ である。
• クーマー多様体 $ K_n(A) $ に対しては、$ \Theta $ および $ e $ で生成されるネロン＝セベール群を用い、$ (\Theta,\Theta) = 2g-2 $、$ (e,e) = -2(g+1) $ である。相対ヤコビアンのファイバー上のルーリングを分析する。
• 極小ラジアル $ R $ を曲線の線束のモジュライ空間上の $ \mathbb{P}^k $-バンドルのルーリングの類として構成し、$ \Theta $ および $ e $ との交点を用いて $ (R,R) $ を計算する。
• 極小ラジアル $ R $ の最小の正の倍数 $ \rho = kR $ を $ \mathrm{H}^2(X,\mathbb{Z}) $ 内で定義し、$ (\rho,\rho) = (e,e) $ を確認することで、普遍定数 $ c_X $ と関連付ける。
• 変形理論および曲線のモジュライを用いて、固定長の部分スキーム $ Z \subset A $ の族をヤコビアンに沿って構成し、極小ラジアルを $ \mathbb{P}^1 $-バンドルのファイバーとして実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホロモルフィックシンプレクティック多様体 $ X $ に対して、すべての極小曲線類 $ R \in \overline{\mathrm{NE}}_1(X) $ が $ (R,R) \geq -c_X $ を満たすような普遍的な有理定数 $ c_X $ は何か？
• RQ2 極小化 $ g $ を用いた交点理論的条件によって、有効的コーン $ \overline{\mathrm{NE}}_1(X) $ はどのように記述できるか？
• RQ3 変形型 $ S^{[n]} $ や $ K_n(A) $ に対して、予想 $ \mathrm{NE}_1(X) = \langle R \in \mathrm{N}_1(X,\mathbb{Z}) : (R,R) \geq -c_X, R \cdot g > 0 \rangle $ は成り立つか？
• RQ4 自己交点が負である極小ラジアルの幾何的意味は何か？また、双有理収縮とどのように関係しているか？
• RQ5 極小ラジアル $ R $ の交点数 $ (R,R) $ は、関連する収縮の幾何から明示的に計算できるか？

主な発見

• $ X $ が $ S^{[n]} $ と変形同値である場合、曲線の有効的コーンは $ \mathrm{NE}_1(X) = \langle R \in \mathrm{N}_1(X,\mathbb{Z}) : (R,R) \geq -(n+3)/2, R \cdot g > 0 \rangle $ であり、$ c_X = (n+3)/2 $ である。
• $ X = K_n(A) $ の場合、定数 $ c_X = 2/(g+1) $ であり、ヤコビアン上の $ \mathbb{P}^1 $-バンドルから来る極小ラジアル $ R $ は $ (R,R) = -2/(g+1) $ を満たし、$ c_X $ と一致する。
• $ (1,g) $-極小化を伴う $ K_n(A) $ の場合、極小ラジアル $ R = \Theta - \frac{g}{g+1}e $ は $ (R,R) = -2/(g+1) $ を満たし、$ \rho = (g+1)R $ は $ (\rho,\rho) = -2(g+1) = (e,e) $ を満たす。
• $ X = K_n(A) $ で $ A = E_1 \times E_2 $ の場合、$ \mathbb{P}^n $-ファイブレーション内の直線 $ \ell $ は $ R = E_1 - \frac{1}{2}e $ を満たし、$ (R,R) = -(n+1)/2 $ であるため、$ c_X = (n+1)/2 $ であり、$ \rho = 2R $ は $ (\rho,\rho) = -2(n+1) = (e,e) $ を満たす。
• すべての検討された場合において、極小ラジアル $ R $ の最小の正の倍数 $ \rho $ は $ (\rho,\rho) = (e,e) $ を満たすため、定数 $ c_X $ の普遍性が裏付けられる。
• ヤコビアン上の $ (2g-2) $ 次元のモジュライ空間上の $ \mathbb{P}^1 $-バンドルから来る極小ラジアル $ R = \Theta - \frac{g}{g+1}e $ は $ (R,R) = -2/(g+1) $ を満たし、$ K_g(A) $ に対して予想が確認される。