[論文レビュー] Intersection theory of coassociative submanifolds in G_(2)-manifolds and Seiberg-Witten invariants

Naichung Conan Leung, Xiaowei Wang|ArXiv.org|Jan 29, 2004

Geometry and complex manifolds参考文献 25被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、G₂-多様体における共同型境界条件を満たすインスタントンと、共同型部分多様体内のJ-正則曲線との間の対応を確立し、小さなインスタントンが中心の共同型部分多様体内での正則曲線に収束することを示している。主な結果は、トーブスによるシンプレクティック4次元多様体におけるシーベルグ＝ヴァイテンベルクおよびグロモフ＝ウィッテン不変量の対応関係を通じて、このようなインスタントンの数え上げがシーベルグ＝ヴァイテンベルク不変量と結びつくことである。

ABSTRACT

We study the problem of counting instantons with coassociative boundary condition in (almost) G_(2)-manifolds. This is analog to the open Gromov-Witten theory for counting holomorphic curves with Lagrangian boundary condition in Calabi-Yau manifolds. We explain its relationship with the Seiberg-Witten invariants for coassociative submanifolds.

研究の動機と目的

• G₂-多様体における共同型境界条件を満たすインスタントンを数えることにより、G₂-多様体における開Gromov-Witten理論の類似を構築すること。
• このようなインスタントンの数え上げを、共同型部分多様体のシーベルグ＝ヴァイテンベルク不変量と関連づけること。
• 共同型部分多様体が互いに近づく極限において、小さなインスタントンとJ-正則曲線との間の幾何的対応を確立すること。
• トーブスによるシーベルグ＝ヴァイテンベルクおよびグロモフ＝ウィッテン不変量の対応関係を、G₂-インスタントンの設定へと拡張すること。
• インスタントンのモジュライ空間のコンactificationにおけるバブルリングおよび崩壊の役割を理解するための基盤を提供すること。

提案手法

• G₂-多様体M内に非自明な微分 dC_t/dt を持つ一パラメータ族 {C_t} の共同型部分多様体を用意する。
• モデルインスタントン A_ε の正規バンドルの切断の空間上で定義された関数 F_ε に陰関数定理を適用し、F_ε(V) = *(exp_V^* τ)^⊥ を満たす。
• ワーパード積分ネighborhood Σ × [0,ε] 上でのねじれディラック作用素の固有値推定に基づき、D F_ε(0) の逆可換性を制御する。
• 微分 D F_ε(0) が Σ × [0,ε] 上のねじれディラック作用素にε-近いことを確立し、定量的陰関数定理の適用を可能にする。
• Bryantの結果を用い、Λ₊²(C) が位相的に自明な場合、Λ₊²(C) 内のゼロ切断が適切な不完全なG₂計量に関して共同型であることを示す。
• Taubesの定理を適用し、シンプレクティック4次元多様体Cのシーベルグ＝ヴァイテンベルク不変量がそのグロモフ＝ウィッテン不変量に等しいことを示し、インスタントンの数え上げとシンプレクティック不変量を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 G₂-多様体における共同型境界条件を満たすインスタントンのための、開Gromov-Witten型不変量をどのように定義し計算できるか。
• RQ2 このようなインスタントンの数と、共同型部分多様体のシーベルグ＝ヴァイテンベルク不変量との関係は何か。
• RQ3 二つの近接した共同型部分多様体に境界を持つインスタントン族が、中心の部分多様体内でのJ-正則曲線に収束する条件は何か。
• RQ4 共同型部分多様体のシーベルグ＝ヴァイテンベルク不変量は、周囲のG₂-多様体内での小さなインスタントンの数え上げから回復可能か。
• RQ5 共同型部分多様体が近接していない場合、バブルリングはインスタントンモジュライ空間のコンパクト化においてどのような役割を果たすか。

主な発見

• 任意の正則なJ-正則曲線Σが共通型部分多様体C₀に現れるとき、それはC₀ ∪ C_ε に境界を持つ一パラメータ族のインスタントンA_εのC¹極限として現れる。
• 逆に、C₀ ∪ C_t に境界を持つインスタントン族A_t がC¹位相で極限Σに収束するならば、ΣはC₀内のJ-正則曲線である。
• 任意の正則なJ-正則曲線ΣがC₀に存在するとき、十分に小さいε > 0 に対して、M内に微分同相型 [0,1] × Σ であるインスタントンA_εが存在し、∂A_ε ⊂ C₀ ∪ C_ε を満たす。
• C₀がシンプレクティック4次元多様体であるとき、Taubesの定理によりC₀のシーベルグ＝ヴァイテンベルク不変量はそのグロモフ＝ウィッテン不変量に等しくなる。この場合、インスタントンの数え上げは、この等価性を反映すると期待される。
• このようなインスタントンの存在は、正規ベクトル場上の関数の陰関数定理の適用により保証され、関数の微分はε-近いねじれディラック作用素に近い。
• 本稿は、C₀ ∪ C_t を境界とする小さな体積のインスタントンが、すべてこの極限的構成から生じるはずであると予想しており、インスタントンに対するε-正則性結果の可能性を示唆している。