[論文レビュー] Intrinsic brackets and the $L_\infty$-deformation theory of bialgebras

Martin Markl|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 23被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、連接複体に $L_\infty$-構造を導入することにより、bialgebra のコホモロジーに Lie 括弧（いわゆる「内在的括弧」）を確立する。これは、Hochschild コホモロジーにおける古典的内在的括弧を Gerstenhaber-Schack コホモロジーへ拡張するものであり、$L_\infty$-マスター方程式が bialgebra の変形理論を支配することを証明する。この構成により、長年の未解決問題が解決され、最小モデルとプロップ解体の先行研究に基づく明示的公式が導出される。

ABSTRACT

We show that there exists a Lie a bracket on the cohomology of any type of (bi)algebras over an operad or a PROP, induced by a strongly homotopy Lie structure on the defining cochain complex, such that the associated "quantum" master equation captures deformations. This in particular implies the existence of a Lie bracket on the Gerstenhaber-Schack cohomology of a bialgebra that extends the classical intrinsic bracket on the Hochschild cohomology, giving an affirmative answer to an old question about the existence of such a bracket.

研究の動機と目的

• プロップまたはオペラッド上の任意の (bi)代数のコホモロジーに、連接複体上の $L_\infty$-構造を用いて Lie 括弧を定義すること。
• 関連する $L_\infty$-マスター方程式が bialgebra の変形理論を捉えられることを示すこと。
• Hochschild コホモロジーにおける古典的内在的括弧を Gerstenhaber-Schack コホモロジーに拡張する Lie 括弧が存在するかという未解決問題を解消すること。
• 先行研究 [24] と最小モデル構成の結果を用いて、内在的括弧の明示的公式を提供すること。
• 特に $\mathcal{A}$ss-bialgebras における bialgebra のコホモロジーが、この括弧を誘導する自然な $L_\infty$-代数構造を持つことの証明。

提案手法

• 構造を記述するプロップ ${\sf P}$ の最小モデル $({\sf M}, \partial)$ を用いる。
• 連接複体 $C^*_{{\sf P}}(V;V)$ は、$\operatorname{Der}({\sf M}, \operatorname{End}_V)$ の勾配付き微分作用素のスuspension として定義され、次数 +1 の微分 $\delta_{{\sf P}}$ を持つ。
• 最小モデルを介して連接複体に $L_\infty$-構造が誘導され、高次括弧はモデルの微分 $\partial$ から得られる。
• コホモロジーへの $L_\infty$-構造の持ち上げを用いて、コホモロジー上の内在的 Lie 括弧が得られる。これは、コホモロジーが最小モデルから誘導される勾配付き Lie 代数構造を持つことを利用している。
• $\mathcal{A}$ss-bialgebras に対しては、連接複体が Gerstenhaber-Schack 複体と同型であり、括弧はそのコホモロジーにおける既知の括弧に還元される。
• 証明は、bialgebra のプロップ ${\sf DB}$ の最小モデルにフィルトレーション付きの次数を導入し、それらから生じる双複体にスペクトル系列を適用するものである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 bialgebra の Gerstenhaber-Schack コホモロジーに、Hochschild コホモロジーにおける古典的内在的括弧を拡張する Lie 括弧が存在するか？
• RQ2 bialgebra の変形理論が、コホモロジカル $L_\infty$-構造から生じる $L_\infty$-マスター方程式によって記述可能か？
• RQ3 bialgebra コホモロジー上の内在的括弧は、最小モデルの選択に依存せず、関手的か？
• RQ4 bialgebra を記述するプロップの既知の解体から、内在的括弧の明示的公式をどのように導出できるか？
• RQ5 ${\sf DB}$ の最小モデルが、連接複体上の $L_\infty$-構造を実現するために果たす役割は何か？

主な発見

• 任意のプロップまたはオペラッド上の (bi)代数のコホモロジーは、連接複体上の $L_\infty$-構造によって誘導される自然な Lie 括弧（内在的括弧）を持つ。
• 特に $\mathcal{A}$ss-bialgebras の Gerstenhaber-Schack コホモロジーにおけるこの内在的括弧は、Hochschild コホモロジーにおける古典的内在的括弧を拡張する。
• 連接複体に関連する $L_\infty$-マスター方程式は、bialgebra の変形理論を支配する。
• この構成は、任意の標数 0 の体上で有効であり、驚くべきことに整数環上でも成立する。
• ${\sf DB}$ の最小モデルが ${\sf B}$-自由最小モデルであることが示され、スペクトル系列の議論により、そのホモロジーが ${\sf DB}$ と同型であることが証明された。
• 明示的公式は、[24] の結果を用い、図式的表現での拡張された Gerstenhaber-Schack 微分を用いて提供された。