[論文レビュー] Introduction to Quantum Mechanics and the Quantum-Classical transition

José F. Cariñena, Jesús Clemente-Gallardo+1 more|ArXiv.org|Jul 24, 2007

Quantum Mechanics and Applications参考文献 72被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ヒルベルト空間上のユニタリ群作用の運動量写像を介してシュレーディンガー形式とハイゼンベルク形式を統一する、微分幾何的枠組みを提示する。複数のケーラー構造または代替の結合的積を用いて、量子レベルにおける双ハミルトニアン構造を導入し、古典的極限ではポisson括弧ではなくヤコビ括弧が得られることを示し、量子-古典遷移の幾何的基盤を提供する。

ABSTRACT

In this paper we present a survey of the use of differential geometric formalisms to describe Quantum Mechanics. We analyze Schroedinger and Heisenberg frameworks from this perspective and discuss how the momentum map associated to the action of the unitary group on the Hilbert space allows to relate both approaches. We also study Weyl-Wigner approach to Quantum Mechanics and discuss the implications of bi-Hamiltonian structures at the quantum level.

研究の動機と目的

• 微分幾何学を用いて量子力学の幾何的定式化を確立すること。
• ヒルベルト空間上のユニタリ群作用の運動量写像を介してシュレーディンガー形式とハイゼンベルク形式を統一すること。
• ワイル＝ウィグナー形式を、量子-古典遷移を研究する自然な道具として分析すること。
• 複数のケーラー構造または代替の作用素積を用いて、古典の双ハミルトニアン構造を量子領域に一般化すること。
• 特に、古典的極限においてヤコビ括弧がポアソン括弧の代わりに出現することを含め、量子双ハミルトニアン系の意味を探求すること。

提案手法

• シュレーディンガー形式における状態空間を、複素構造、シンプレクティック形式、リーマン計量を有するケーラー多様体として記述する。
• ヒルベルト空間上でのユニタリ群作用に関連する運動量写像を適用し、シュレーディンガー形式とハイゼンベルク形式を結びつける。
• ワイル量子化を用いて作用素を位相空間上の関数へ写像することで、ワイル＝ウィグナー形式を構築する。
• ヒルベルト空間上に2つの整合性のあるケーラー構造を考察し、作用素上の代替の結合的積を導入することで、双ケーラー的力学を構成する。
• 複数のシンプレクティック構造の下での量子力学的ダイナミクスを導出し、ヘイゼンベルク方程式が正定値行列Kによって関連付けられた2つの異なるハミルトニアンによって等価に表現できることを示す。
• 変形された積の古典的極限を分析し、反対称部がポアソン括弧ではなくヤコビ括弧に収束することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユニタリ群作用の運動量写像を用いて、シュレーディンガー形式とハイゼンベルク形式を幾何学的に統一する方法は何か？
• RQ2 ケーラー構造は、微分幾何学的枠組みにおける量子力学の定式化において果たす役割は何か？
• RQ3 ワイル＝ウィグナー形式は、量子-古典遷移の研究をどのように容易にするか？
• RQ4 ヒルベルト空間上に複数の整合性のあるケーラー構造が存在する場合、量子力学的ダイナミクスにどのような影響を与えるか？
• RQ5 代替の結合的積を有する量子系の古典的極限において、どのような古典的構造が出現するか？

主な発見

• ヒルベルト空間上でのユニタリ群作用に関連する運動量写像が、シュレーディンガー形式とハイゼンベルク形式の間の幾何的ブリッジを提供する。
• シュレーディンガー形式とハイゼンベルク形式は、自然にケーラー構造とリー＝ジョルダン代数を生じさせ、これらは量子力学的ダイナミクスを記述するために不可欠である。
• ワイル＝ウィグナー形式が、位相空間表現を有するため、量子-古典遷移の分析に最も適した枠組みであることが示された。
• ヒルベルト空間上の双ケーラー的力学は、作用素上の2つの代替の結合的積 A·KB = AKB を導き、それに対応する双対ハミルトニアン H₁ = KHK を得る。
• 古典的極限において、変形された量子積はポアソン括弧ではなくヤコビ括弧に収束するため、量子双ハミルトニアン系は標準的な古典的双ハミルトニアン系に還元されない。
• 非可換な古典的極限を得るためには、量子レベルで非線形変換が必要であるため、線形に関連するシンプレクティック構造だけでは不十分であり、非整合な古典的括弧を生成できない。