[論文レビュー] Invariance of the Hamilton-Jacobi tunneling method for black holes and FRW model

Yi-Xin Chen, Kai-Nan Shao|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2010

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 51被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ブラックホールおよびフレリッドマン＝ロバートソン＝ウォーカー（FRW）宇宙論的モデルにおけるホーキング放射の計算のため、不変ハミルトニアン・ジャコビトンネル効果法を提案する。古典的になしの軌道に沿って虚数部の作用を共変線積分として構築することにより、長年の「2倍の要因問題」が解消され、ブラックホールおよびFRW宇宙における見かけのホライズンの両方で、熱力学的法則と整合的な標準的ホーキング温度 $ T = \frac{\kappa}{2\pi} $ が得られる。

ABSTRACT

In this paper we revisit the topic of Hawking radiation as tunneling. We show that the imaginary part of the action of the tunneling particle should be reconstructed in a covariant way, as a line integral along the classical forbidden trajectory of tunneling particles. As the quantum tunneling phenomenon, the probability of tunneling is related to the imaginary part of the action for the classical forbidden trajectory. We do the calculations for massless and massive particles, in Schwarzschild coordinate and Painlevé coordinate. The construction of particle action is invariant under coordinate transformations, so this method of calculation black hole tunneling does not have the so called "factor 2 problem". As an application, we find that the temperature of Hawking temperature of apparent horizon in a FRW universe is $T=\fracκ{2π}$. Based on this result, we briefly discuss the unified first law of apparent horizon in FRW universe.

研究の動機と目的

• ホーキング放射のハミルトニアン・ジャコビトンネル法における『2倍の要因問題』を解消するため、作用の座標不変な構築を実現すること。
• トンネル確率が、古典的になしの軌道に沿った作用の虚数部によって支配されることを示し、ホーキング温度におけるボルツマン因子と整合することを保証すること。
• 一般曲率 $ k $ を持つFRW宇宙論的モデルにまで不変トンネル法を拡張し、見かけのホライズンのホーキング温度を導出すること。
• 導出された温度 $ T = \frac{\kappa}{2\pi} $ が、FRW宇宙論における統一された第一法則熱力学と整合することを確認すること。
• ホライズン温度を $ T = \frac{\kappa}{2\pi} $ に設定したとき、フリードマン方程式が第一法則から自然に導かれることを示し、重力的力学とホライズン熱力学を統合すること。

提案手法

• トンネル粒子の古典的になしの軌道に沿って作用の虚数部を共変線積分として構築し、座標変換に対して共変性を保証すること。
• 質量ゼロおよび質量を持つ粒子に対して、シュバルツシルト座標およびパリーヴェ座標の両方でこの手法を適用し、異なる時空記述の間での一貫性を検証すること。
• トンネル確率 $ \Gamma \sim e^{-2\text{Im}I} $ を用い、これとボルツマン因子 $ e^{-\omega / T_H} $ を等置することで、ホーキング温度を抽出すること。
• 一般 $ k $ を持つFRWモデルにおける見かけのホライズンの表面重力 $ \kappa_H $ を、計量 $ ds^2 = -dt^2 + \frac{a^2(t)}{1 - kr^2} dr^2 + a^2(t) r^2 d\Omega^2 $ を用いて導出すること。
• ホライズン質量 $ m_H = R_H / 2 $、面積 $ A_H = 4\pi R_H^2 $、体積 $ V_H = \frac{4}{3}\pi R_H^3 $ を定義し、仕事項 $ W = \frac{1}{2}(\rho - p) $ を導入すること。
• ホライズン温度が $ T_H = \frac{|\kappa_H|}{2\pi} $ のとき、統一第一法則 $ dm_H = T_H dS + W dV_H $ が成り立つことを、フリードマン方程式と係数を一致させることで確認すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハミルトニアン・ジャコビトンネル法を座標不変な形に再定式化することで、『2倍の要因問題』を解消できるか？
• RQ2 古典的になしの軌道に沿った作用の不変な構築は、静的および動的ホライズンの両方で標準的ホーキング温度 $ T = \frac{\kappa}{2\pi} $ を与えるか？
• RQ3 トンネル法から導かれた温度 $ T = \frac{\kappa}{2\pi} $ は、FRW宇宙論における統一第一法則熱力学と整合的か？
• RQ4 ホライズン温度を $ T = \frac{\kappa}{2\pi} $ に設定したとき、フリードマン方程式は第一法則熱力学から導けるか？
• RQ5 入射モードと出射モードの選択が温度計算に与える影響は何か？その物理的意味は何か？

主な発見

• 作用の虚数部は、古典的になしの軌道に沿った共変線積分として構築され、『2倍の要因問題』が解消され、座標不変性が保証される。
• 本手法により、シュバルツシルトブラックホールおよびFRW宇宙の見かけのホライズンの両方で、標準的ホーキング温度 $ T_H = \frac{|\kappa_H|}{2\pi} $ が得られ、粒子の質量や座標系に依存しない。
• 一般曲率 $ k $ を持つFRWモデルにおいて、見かけのホライズンの温度は $ T_H = \frac{|\kappa_H|}{2\pi} $ であり、ここで $ \kappa_H = -\frac{R_H}{2}\left(\dot{H} + 2H^2 + \frac{k}{a^2}\right) $ である。
• 統一第一法則 $ dm_H = T_H dS + W dV_H $ は、$ T_H = \frac{|\kappa_H|}{2\pi} $ のとき成り立ち、$ S = \frac{A_H}{4} $ であり、仕事項 $ W = \frac{1}{2}(\rho - p) $ である。
• 統一第一法則がフリードマン方程式 (56) および (57) と整合することは、FRWモデルにおける熱力学的記述が自己整合的であることを確認する。
• 結果として得られた $ T_H = \frac{|\kappa_H|}{2\pi} $ は、過去の不変でない計算で得られた $ T = \frac{1}{2R_H} $ とは異なり、それらの結果は近似値またはモード依存性である可能性を示唆する。