[論文レビュー] Invariant connections with skew-torsion and $ abla$-Einstein manifolds

Ioannis Chrysikos|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、コンパクトなリー群および自然再帰的同次空間、特に球面 S⁶ および S⁷ における歪みを持つ不変アフィン接続を研究し、それらの G₂-および Spin(7)-不変接続が1パラメータ族 ∇^α を形成することを示している。主な貢献は、任意のコンパクトで単連結な同型的不変な標準的同次リーマン多様体（タイプ I 対称空間でないもの）が、すべての α ∈ ℝ に対して ∇^α-Einstein であることを証明したことである。これは、カシミール作用素を用いて歪みを持つ計量接続へのアインシュタイン条件の一般化を達成している。

ABSTRACT

For a compact connected Lie group $G$ we study the class of bi-invariant affine connections whose geodesics through $e\in G$ are the 1-parameter subgroups. We show that the bi-invariant affine connections which induce derivations on the corresponding Lie algebra $\frak{g}$ coincide with the bi-invariant metric connections. Next we describe the geometry of a naturally reductive space $(M=G/K, g)$ endowed with a family of $G$-invariant connections $ abla^α$ whose torsion is a multiple of the torsion of the canonical connection $ abla^{c}$. For the spheres ${ m S}^{6}$ and ${ m S}^{7}$ we prove that the space of ${ m G}_2$ (resp. ${ m Spin}(7)$)-invariant affine or metric connections consists of the family $ abla^α$. Then we examine the "constancy" of the induced Ricci tensor ${ m Ric}^α$ and prove that any compact simply-connected isotropy irreducible standard homogeneous Riemannian manifold, which is not a symmetric space of Type I, is a $ abla^α$-Einstein manifold for any $α\in\mathbb{R}$. We also provide examples of $ abla^{\pm 1}$-Einstein structures for a class of compact homogeneous spaces $M=G/K$ with two isotropy summands.

研究の動機と目的

• コンパクト連結リー群 G における双対不変アフィン接続を分類し、リー代数 𝔤 上に導分を誘導し、Λ(X)X = 0 を満たすものを探す。
• 自然再帰的空間 M = G/K における G-不変接続を特徴づけ、そのねじれが標準接続 ∇^c のねじれ T^c に比例するものであることを明らかにする。
• 歪みを持つ計量接続を用いたアインシュタイン計量の一般化である ∇^α-Einstein 構造を、コンパクトな自然再帰的多様体上で調査する。
• 同型的不変な空間における Casimir 要素の解析を用いて、そのような多様体がいつ ∇^α-Einstein 構造を有するかを特定する。
• 2つの同型的和成分をもつフラッグ多様体における ∇^α-Einstein 構造の明示的例を提示する。例として CP³ および古典的群の随伴軌道が含まれる。

提案手法

• 等変導分 D: 𝔤 → Der(𝔤) と、Λ(X)X = 0 を満たす双対不変接続のねじれおよび曲率を結ぶ公式を導出する。
• 表現論を用いて、S⁶ における G₂-不変アフィン接続の空間が2次元（α ∈ ℂ）であり、S⁷ における Spin(7)-不変接続の空間が1次元族（∇^α, α ∈ ℝ）であることを示す。
• ∇^α を、M = G/K 上の G-不変接続として定義し、ねじれ T^α = α·T^c とし、T^c を標準接続 ∇^c のねじれとする。
• 対称リッチテンソル Ric_S^α およびスカラー曲率 Scal^α を分析し、Ric_S^α = (Scal^α / n)·g を満たす ∇^α-Einstein 構造を定義する。
• カシミール作用素理論を適用し、同型的不変空間における ∇^α-Einstein 条件を特徴づけ、同型的表現上の固有値方程式に帰着する。
• フラッグ多様体におけるキリング計量 g_B を用いて、g_B がアインシュタイン（d₁ = 2d₂ を満たす）である条件を特定し、これにより ∇^s-Einstein 構造が s = 0, 2 のとき存在することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトリー群 G における双対不変アフィン接続で、リー代数 𝔤 上に導分を誘導し、Λ(X)X = 0 を満たすものは何か。また、それらは双対不変計量接続とどのように関係するか。
• RQ2 S⁶ および S⁷ におけるそれぞれ G₂-不変または Spin(7)-不変アフィン（または計量）接続の空間の構造はどのようなものか。
• RQ3 コンパクトで単連結な同型的不変な標準的同次リーマン多様体（タイプ I 対称空間でないもの）が、すべての α ∈ ℝ に対して ∇^α-Einstein であるための条件は何か。
• RQ4 2つの同型的和成分をもつフラッグ多様体 M = G/K において、キリング計量がアインシュタインであるための条件は何か。また、s = 0, 2 のとき ∇^s-Einstein 構造が存在する条件は何か。
• RQ5 同型的表現におけるカシミール作用素を用いて、∇^α-Einstein 条件を代数的にどのように特徴づけられるか。

主な発見

• リー代数 𝔤 上に導分を誘導する双対不変アフィン接続のクラスは、双対不変計量接続のクラスと完全に一致する。
• S⁶ = G₂/SU(3) における G₂-不変アフィン接続の空間は2次元（α ∈ ℂ）であり、S⁷ = Spin(7)/G₂ における Spin(7)-不変アフィン接続の空間は1次元（α ∈ ℝ）である。
• 任意のコンパクトで単連結な同型的不変な標準的同次リーマン多様体（タイプ I 対称空間でないもの）は、すべての α ∈ ℝ に対して ∇^α-Einstein である。
• 2つの同型的和成分をもつフラッグ多様体において、∇^s-Einstein 構造は d₁ = 2d₂ のときかつそのときに限り存在する。ここで d₁, d₂ は和成分の次元である。
• 例として、SO(5)/U(2)、SO(11)/U(4)×SO(3)、Sp(5)/U(3)×Sp(2)、SO(20)/U(7)×SO(6) が挙げられ、これらはすべて s = 0, 2 のとき ∇^s-Einstein 構造を有する。
• CP³ = SO(5)/U(2) における標準接続 ∇^0,1/2 は、既知のほぼケーラー的特徴接続に対応し、∇^2,1/2 構造は歪みを持つ新しい ∇^s-Einstein 例である。