[論文レビュー] Invariant Fibrations for some Birational Maps of C^2

Anna Cima, Sundus Zafar|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2017

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、吹き上げ技法とピカール群のダイナミクスを用いて不変線形束を分析することで、複素平面 ℂ² 上の双有理写像の代数的エントロピーがゼロであるものを同定・分類する。ゼロエントロピーは、写像が周期的であるか、第一積分をもつ場合に限り発生し、それぞれの場合に明示的な線形束と有理関数束が得られる。α₁ が単位根である場合は線形束が得られ、それ以外の場合は有理関数束が得られる。

ABSTRACT

In this article we extract and study the zero entropy subfamilies of a certain family of birational maps of the plane. We find these zero entropy mappings and give the invariant fibrations associated to them.

研究の動機と目的

• 代数的エントロピーがゼロである形 f(x,y) = (α₀+α₁x+α₂y, (β₀+β₁x+β₂y)/(γ₀+γ₂y)) の双有理写像をすべて分類すること。
• このようなゼロエントロピー写像に関連する不変線形束を特定し、ダイナミカル構造を明らかにすること。
• 写像が周期的であるか、第一積分をもつためのパラメータ条件を同定すること。
• 特異点と軌道の衝突を解析するため、吹き上げ技法とピカール群のダイナミクスを用いて不確定点を扱うこと。
• アフィン同値の意味でゼロエントロピーのケースを完全に分類し、ベッドフォード＝キム写像に関する先行研究を拡張すること。

提案手法

• 不確定点における吹き上げを用いて特異点を解消し、写像を射影平面に拡張すること。
• ピカール群を用いて写像の引き戻し作用が除数類に与える影響を追跡すること。
• 写像 F とその逆写像 F⁻¹ の不確定点間の軌道の衝突を分析し、有限軌道を特定すること。
• 反復写像の次数列を計算し、力学的次元を用いて代数的エントロピーを特定すること。
• 特徴多項式の構造を用いて第一積分および不変線形束を同定すること。
• 問題を α₂ ≠ 0 および α₂ = 0 の場合に分けて扱い、それぞれに対して独立した分類定理を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた双有理写像族において、代数的エントロピーがゼロとなるパラメータ値は何か？
• RQ2 この族におけるゼロエントロピー写像に関連する不変線形束は何か？
• RQ3 写像 F と F⁻¹ の不確定点間の軌道の衝突は、ゼロエントロピー行動をどのように特定するか？
• RQ4 写像が周期的である条件は何か？また、第一積分の存在とはどのように関係するか？
• RQ5 代数的エントロピーがゼロのとき、これらの写像のダイナミクスは線形束を用いて完全に記述可能か？

主な発見

• 代数的エントロピーがゼロとなるのは、反復写像の次数列が有界または線形に増加する場合に限り、かつその場合に限る。
• α₁ が単位根である場合、写像 f は周期 2n をもち、関数 W₁ = V₁²ⁿ と W₂ = V₂²ⁿ は独立な第一積分である。
• α₂ ≠ 0 の場合、不変線形束は V₁(x,y) = x および V₂(x,y) = y で与えられ、V₁ は f に関して不変である。
• α₂ = 0 かつ α₁ⁿ = 1 の場合、写像 f は 2n 周期的であり、線形束 V₁(x,y) = x および V₂(x,y) = y は保存される。
• α₀ = 0 かつ β₂ = 0 の場合、写像 φ(x,y) = (V₁(x,y), V₂(x,y)) は双有理写像であり、f を線形写像 (√α₁x, -√α₁y) に共役化する。
• fᵖ(α₀, β₂) = (0,0) となるような p が存在する場合、次数列は (2p+2)-周期的となり、f 自身は (2p+2)-周期的であり、f²ᵖ⁺²(x,y) = (x,y) が成り立つ。