[論文レビュー] Invariant manifolds for analytic dynamical systems over ultrametric fields

Helge Glöckner|ArXiv.org|Aug 20, 2008

advanced mathematical theories参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、完備な非アーケメデス的体上の解析的力学系に対して、不変多様体—特にa安定、中心安定、および中心多様体—の存在と構造を確立する。非アーケメデス的解析と接空間へのスペクトル条件を用い、a-双曲性のもとで、a-安定集合がa-安定部分空間に接する解析的部分多様体であることを証明する。これは、局所体上のリー群への応用を含む、非アーケメデス的設定における古典的安定多様体定理の一般化である。

ABSTRACT

We give an exposition of the theory of invariant manifolds around a fixed point, in the case of time-discrete, analytic dynamical systems over a complete ultrametric field K. Typically, we consider an analytic manifold M modelled on an ultrametric Banach space over K, an analytic self-map f of M, and a fixed point p of f. Under suitable conditions on the tangent map of f at p, we construct a centre-stable manifold, a centre manifold, respectively, an r-stable manifold around p, for a given positive real number r not exceeding 1. The invariant manifolds are useful in the theory of Lie groups over local fields, where they allow results to be extended to the case of positive characteristic which previously were only available in characteristic zero (i.e., for p-adic Lie groups).

研究の動機と目的

• 完備な非アーケメデス的体上の解析的力学系へ古典的安定多様体理論を拡張すること、特に正の特性において。
• 接空間へのスペクトル的および幾何的条件を用いて、非アーケメデス的設定におけるa安定、中心安定、および中心多様体を定義し構成すること。
• a-双曲性への双曲性概念の一般化を通じて、非アーケメデス的体上の部分的双曲力学系の基礎を築くこと。
• 固定点における線形化写像のa-双曲性のもとで、a-安定集合がa-安定部分空間に接する解析的部分多様体であることを証明すること。
• 局所的および大域的安定多様体が力学系に関して不変であり、逆反復を用いた再帰的構造を持つことを確立すること。

提案手法

• 接空間のa-安定およびa-非安定部分空間への分解と、作用素ノルムに関するノルム条件を用いて、$T_p(f)$ のa-双曲性を定義する。
• 強三角不等式を満たす非アーケメデス的ノルムを用いて、バナッハ空間モデルにおける力学系を定義する非アーケメデス的解析を適用する。
• 数列空間における収縮写像の原理を用いて、a-安定多様体をa-非安定部分空間上へのグラフとして構成する。
• 逆関数定理および解析的陰関数論を用いて、不変多様体が埋め込まれた解析的部分多様体であることを示す。
• スペクトル論を用いて、有限次元におけるa-双曲性を線形写像のスペクトルに関連づけ、すべての固有値$\lambda$に対して$a \neq |\lambda|$が成り立つことを保証する。
• 後向き反復を用いて多様体を構成する：$W_a^s = \bigcup_{n=0}^\infty f^{-n}(\Omega)$ ただし$\Omega$は点$p$の適切な近傍。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非アーケメデス的体上の多様体上の解析的微分同相写像が、不変なa-安定多様体をもつのはどのような条件下か？
• RQ2 古典的双曲性の概念を非アーケメデス的設定にどのように適合させれば、安定多様体の存在を保証できるか？
• RQ3 a-安定集合$W_a^s(f,p)$の正確な構造は何か？また、それがいつ解析的部分多様体となるか？
• RQ4 $a \in (0,1]$ の選択が、不変多様体の幾何学的および力学的性質にどのように影響を与えるか？
• RQ5 非双曲的部分を有する場合、中心安定および中心多様体への理論の拡張は可能か？

主な発見

• a-安定集合$W_a^s(f,p)$は、接空間のa-安定部分空間$T_p(M)_{a,s}$に接する$M$の埋め込みられた解析的部分多様体である。
• 多様体構造$W_a^s(f,p)$は一意的であり、$f$に関して不変であり、$f|_{W_a^s}$は自身への解析的微分同相写像である。
• $p$の$W_a^s$内での任意の近傍は、$W_a^s = \bigcup_{n=0}^\infty f^{-n}(\Omega)$ を満たす部分多様体$\Omega$を含む。これは後向きの力学を反映している。
• $a=1$ の場合、1-安定多様体$W^s$は古典的安定多様体と一致し、$T_p(f)$が双曲的であることは、$1 \notin \{|\lambda| : \lambda \text{ は } T_p(f) \otimes_{\mathbb{K}} \mathrm{id}_{\overline{{\mathbb{K}}}} \text{ の固有値} \}$ であることと同値である。
• 有限次元の場合、a-双曲性は、代数的閉包における線形化写像のすべての固有値$\lambda$に対して$a \neq |\lambda|$ であることと同値である。
• a-非安定多様体は、後向き反復と収縮原理を用いて、非安定部分空間上への解析的関数のグラフとして構成される。