[論文レビュー] Invariant measures and Euler-Maruyama's approximations of state-dependent regime-switching diffusions

Jinghai Shao|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、状態依存的状態スイッチング拡散過程における不変測度の存在および一意性を保証する条件を、制御用マルコフ連鎖を構築することで確立し、Euler-Maruyama近似の強$ L^1 $-ノルム収束を$ O(\delta^{1/2}) $の誤差次数で証明している。解析は、連続的および離散的成分の複雑な相互作用を扱うために洗練されたSkorokhod表現およびカップリング技術に依拠している。

ABSTRACT

Regime-switching processes contain two components: continuous component and discrete component, which can be used to describe a continuous dynamical system in a random environment. Such processes have many different properties than general diffusion processes, and much more difficulties are needed to be overcome due to the intensive interaction between continuous and discrete component. We give conditions for the existence and uniqueness of invariant measures for state-dependent regime-switching diffusion processes by constructing a new Markov chain to control the evolution of the state-dependent switching process. We also establish the strong convergence in the $L^1$-norm of the Euler-Maruyama's approximation and estimate the order of error. A refined application of Skorokhod's representation of jumping processes plays a substantial role in this work.

研究の動機と目的

• 状態依存的状態スイッチング拡散過程（RSDPs）における不変測度の存在および一意性のための十分条件を確立すること。
• 状態依存的スイッチングを有するRSDPsにおけるEuler-Maruyamaスキームの収束特性を分析すること。
• 連続的拡散成分と離散的マルコフ的スイッチング成分の間の強い相互作用が引き起こす課題を克服すること。
• 従来の状態非依存RSDPsに関する不変測度および数値近似の結果を、状態依存的RSDPsへと拡張すること。

提案手法

• 状態依存的スイッチング過程の時間発展を制御する新たなマルコフ連鎖を構築し、その長期的挙動を分析する。
• ジャンピング過程のSkorokhod表現を適用して、状態スイッチング成分の不連続的ダイナミクスを扱う。
• 成功したカップリング技術を用いて、真の過程とそのEuler-Maruyama近似のパスを比較する。
• Gronwallの不等式をモーメント推定と併用して、真の過程と近似過程の間の$ L^1 $-ノルム差をバウンディングする。
• 正則性および安定性を保証するため、ドリフト、拡散、スイッチングレートに条件(Q1)-(Q3)、(A1)-(A2)、(H1)-(H2)を課す。
• 状態誤差、モード誤差、時間離散化誤差に分解することで、誤差バウンドを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 状態依存的状態スイッチング拡散過程が一意な不変測度を有するための条件は何か？
• RQ2 このような過程におけるEuler-Maruyamaスキームの$ L^1 $-ノルムにおける収束速度は何か？
• RQ3 連続的拡散成分と離散的スイッチング成分の相互作用を効果的に制御することで、エルゴード性および数値的安定性を保証するにはどうすればよいか？
• RQ4 カップリング法をどのように精緻化すれば、状態依存的スイッチングレートを有する過程のパスワイズ差を扱えるか？
• RQ5 Skorokhodの表現は、近似スキームの収束解析において果たす役割は何か？

主な発見

• 適切なFoster-Lyapunov型条件と構築された制御用マルコフ連鎖のもとで、状態依存的RSDPsにおける不変測度の存在および一意性が確立された。
• Euler-Maruyama近似は、真の過程に対して$ L^1 $-ノルムで収束し、誤差バウンドが$ O(\delta^{1/2}) $のオーダーであることが示された。ここで$ \delta $は時間刻みである。
• 収束速度はパスワイズカップリング論法とモーメント推定を用いて導出され、ドリフトおよび拡散係数の有界性に依拠している。
• 解析により、有限時間区間内における真の過程と近似過程の間のモード不一致確率が$ O(\delta^{1/2}) $のオーダーで減少することが示された。
• スイッチング強度を状態依存的遷移レートで制御することにより、スイッチング過程の非マルコフ的性質を効果的に扱った。
• 結果として、状態非依存ケースに限らないRSDPsの数値的手法の理論的基盤が拡張され、ファイナンス、生物学、工学分野における広範な応用が可能になった。