[論文レビュー] Invariants of Knots and 3-manifolds from Quantum Groupoids

Dmitri Nikshych, Vladimir Turaev+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2000

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、量子群の小・弱ホップ代数としての表現カテゴリを用いて、絡み目および3次元多様体の不変量を構成する。クェーシトリギュラ、リボン、モジュラー量子群の小を導入し、それらのドリンフェルト双対を定義し、連結なC*-量子群の小のユニタリ表現カテゴリがユニタリモジュラー圏をなすことを証明する。これにより、単位根における量子群から得られるものと一般化された新しいモジュラー圏の構成が得られる。

ABSTRACT

We use categories of representations of finite dimensional quantum groupoids (weak Hopf algebras) to construct ribbon and modular categories that give rise to invariants of knots and 3-manifolds.

研究の動機と目的

• 量子群の単位根におけるモジュラー圏の構成をホップ代数を超えて量子群の小へ一般化することにより、それらの表現カテゴリを用いたモジュラー圏の構成を拡張すること。
• ホップ代数からより一般な量子群の小（弱ホップ代数）の設定へ、リボンおよびモジュラー圏の理論を一般化すること。
• 有限指数・有限深さのII₁因子部分代数とユニタリモジュラー圏との間の関係を、C*-量子群の小およびそのドリンフェルト双対を通じて確立すること。
• 量子群の小の表現理論を用いた、絡み目および3次元多様体の不変量を構成するための新しい代数的枠組みを提供すること。

提案手法

• 量子群の小を、代数的・余代数的および反作用の構造が整合する有限次元弱ホップ代数として定義し、特定の公理を満たすようにする。
• 量子群の小 H のドリンフェルト双対 D(H) を定義し、それが因子的可換性を満たすクェーシトリギュラ量子群の小であることを示す。
• 量子群の小に R-行列およびリボン元という追加構造を導入することで、リボンおよびモジュラー量子群の小を構成する。
• C*-量子群の小に対してユニタリ表現カテゴリ URep(H) を定義し、ドリンフェルト双対を介してモジュラー構造を引き継ぐことを示す。
• 因子的可換性およびハール測度の存在を用いて、代数的に閉体上のリボン的・因子的可換な量子群の小 H の表現カテゴリがモジュラーであることを証明する。
• 表現カテゴリを純粋なモジュラー圏に変換するための浄化手続きを適用し、不変量が適切に定義され非退化であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子群の単位根におけるモジュラー圏の構成は、ホップ代数を超えて量子群の小へ一般化可能か？
• RQ2 ドリンフェルト双対の構成はホップ代数から量子群の小へどのように拡張可能か？また、その構成が保持する性質は何か？
• RQ3 量子群の小の表現カテゴリがモジュラーであるための条件は何か？また、リボン元の存在および因子的可換性とどのように関係するか？
• RQ4 有限指数・有限深さのII₁因子部分代数とユニタリモジュラー圏の間の関係は、C*-量子群の小の表現理論を通じてどのように特定されるか？
• RQ5 C*-量子群の小のドリンフェルト双対から得られるモジュラー圏は、サブファクター双モジュールを用いたA. オクネアヌの構成と同値か？

主な発見

• 量子群の小 H の表現カテゴリ Rep(H) は双関手的可換性を備えたモノイダル圏であり、ホップ代数の表現で見られる構造を一般化する。
• 量子群の小 H のドリンフェルト双対 D(H) は、因子的可換性を満たすクェーシトリギュラ量子群の小である。これは古典的二重構成の拡張である。
• 連結なC*-量子群の小 H に対して、D(H) のユニタリ表現カテゴリ URep(D(H)) はユニタリモジュラー圏をなす。これにより、このような圏の新たな源泉が得られる。
• 代数的に閉体上のリボン的・因子的可換な量子群の小 H の表現カテゴリ Rep(H) は、補題8.2によりモジュラーである。
• ドリンフェルト双対による量子群の小からのモジュラー圏の構成は、既知のモジュラーホップ代数および単位根における量子群からの構成を一般化する。
• 本稿では、有限指数・有限深さのII₁因子部分代数に関連するC*-量子群の小から得られるモジュラー圏 URep(D(H)) が、サブファクター双モジュールを用いたA. オクネアヌの構成と同値であると予想している。