[論文レビュー] Invariants of moduli spaces of stable sheaves on ruled surfaces

Sergey Mozgovoy|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 15被引用数 22

ひとこと要約

この論文は、動く表面の安定層の任意のランクに対するモジュライ空間のベッチ数を、モチーフ的測度とウォールクロスィング技術を用いて計算する。これは、ランク1のGöttscheの公式とランク2のYoshiokaの公式を一般化し、ベース曲線のモチーフ的ゼータ関数とベクター束スタックを含む生成関数を導出することによって、Hirzebruch表面におけるManschotの予想を確認する。

ABSTRACT

We compute Betti numbers of the moduli spaces of arbitrary rank stable sheaves on ruled surfaces. Our result generalizes the formula of Goettsche for rank one sheaves and the formula of Yoshioka for rank two sheaves. It also confirms the conjecture of Manschot for arbitrary rank sheaves on the Hirzebruch surfaces.

研究の動機と目的

• 動く表面の任意のランクの安定層のモジュライ空間のベッチ数を計算すること。
• ランク1層のGöttscheの公式とランク2層のYoshiokaの公式を一般化すること。
• Hirzebruch表面におけるf-半安定層の不変量に関するManschotの予想を確認すること。
• ベース曲線のモチーフ的ゼータ関数を用いて、不変量の生成関数を確立すること。
• ウォールクロスィングと吹き出し公式を用いて、任意の極化に対する不変量の計算を可能にすること。

提案手法

• スロープf-半安定層のモジュライスタック上で、ポincare多項式または点数測度であるモチーフ的測度μを用いる。
• 動く表面における異なる極化の間の不変量を関係付けるためにウォールクロスィング公式を適用する。
• P²とHirzebruch表面Σ₁の間の不変量を関係付けるために、吹き出し公式を用いる。
• ベース曲線Cのモチーフ的ゼータ関数Z_C(t)と、次数ゼロのベクター束のスタックBun_{C,r}を含む生成関数を導出する。
• 判別式とチャーン類の構造を用いて、二次形式を用いた整数重みの和として不変量を表現する。
• f-半安定性が、同じ次数のラインバンドルの直和である一般のファイバーの半安定性に同値であることに依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 動く表面の任意のランクの安定層のモジュライ空間のベッチ数の生成関数は何か？
• RQ2 異なる極化における安定層のモジュライ空間の不変量は、ウォールクロスィングによってどのように変化するか？
• RQ3 ManschotのHirzebruch表面におけるf-半安定層の不変量に関する予想は、任意のランクについて確認できるか？
• RQ4 ベース曲線のモチーフ的ゼータ関数は、これらの不変量の計算において果たす役割は何か？
• RQ5 吹き出し公式は、Hirzebruch表面を介してP²とΣ₁の不変量をどのように関係付けるか？

主な発見

• f-半安定層のモジュライ空間の生成関数は、Z̃_f(r,c₁) = μ(Bun_{C,r}) × ∏_{k≥1} ∏_{i=-r}^{r-1} Z_C(q^{rk+i} t^k) で与えられ、Manschotの予想を確認する。
• 局所自由層の場合、生成関数はZ̃_f°(r,c₁) = μ(Bun_{C,r}) × ∏_{k≥1} ∏_{i=1}^{r-1} Z_C(q^{rk+i} t^k) / Z_C(q^{rk-i} t^k) である。
• スタックBun_{C,r}のモチーフ的測度は、μ(Bun_{C,r}) = μ(Jac C)/(q−1) × ∏_{i=1}^{r−1} Z_C(q^i) である。
• rがf·c₁を割り切らない場合、すべてのc₂ ∈ ℤに対して、モジュライ空間M_f(r,c₁,c₂)は空集合である。
• この公式は、ランク1のGöttscheの結果とランク2のYoshiokaの公式を一般化する。
• ウォールクロスィングと吹き出し公式を用いて、P²とΣ₁の例で示されるように、任意の極化に対する不変量の計算が可能になる。