[論文レビュー] Inverse Estimation of Elastic Modulus Using Physics-Informed Generative Adversarial Networks

James E. Warner, Julian Cuevas+3 more|arXiv (Cornell University)|May 20, 2020

Model Reduction and Neural Networks参考文献 18被引用数 6

ひとこと要約

本論文は、変形測定値のみを用いて固体力学における空間的に変化する縁係数の逆推定を目的とした物理情報付き生成対抗ネットワーク（PI-GAN）を提案する。勾配ペナルティを備えたワッサーシュタインGAN（WGAN-GP）フレームワーク内に線形弾性PDEと境界条件を微分可能損失項として埋め込み、直接観測ができない物性分布を学習する。100個の配置点と100件の測定値のみで、真値と同等の統計的整合性（平均、標準偏差、相関長）を達成する。

ABSTRACT

While standard generative adversarial networks (GANs) rely solely on training data to learn unknown probability distributions, physics-informed GANs (PI-GANs) encode physical laws in the form of stochastic partial differential equations (PDEs) using auto differentiation. By relating observed data to unobserved quantities of interest through PDEs, PI-GANs allow for the estimation of underlying probability distributions without their direct measurement (i.e. inverse problems). The scalable nature of GANs allows high-dimensional, spatially-dependent probability distributions (i.e., random fields) to be inferred, while incorporating prior information through PDEs allows the training datasets to be relatively small. In this work, PI-GANs are demonstrated for the application of elastic modulus estimation in mechanical testing. Given measured deformation data, the underlying probability distribution of spatially-varying elastic modulus (stiffness) is learned. Two feed-forward deep neural network generators are used to model the deformation and material stiffness across a two dimensional domain. Wasserstein GANs with gradient penalty are employed for enhanced stability. In the absence of explicit training data, it is demonstrated that the PI-GAN learns to generate realistic, physically-admissible realizations of material stiffness by incorporating the PDE that relates it to the measured deformation. It is shown that the statistics (mean, standard deviation, point-wise distributions, correlation length) of these generated stiffness samples have good agreement with the true distribution.

研究の動機と目的

• 空間的に変化する縁係数が観測不能であり、PDE解に対して関数的依存関係を持たない固体力学分野の逆問題に対処すること。
• 限られた変形測定値を用いて高次元の確率的物性場を学習するスケーラブルでデータ効率の良い手法を開発すること。
• 自動微分と残差ペナルティを用いて、物理法則（線形弾性PDEおよび境界条件）をGAN学習プロセスに直接統合すること。
• PI-GANの実用性と正確性を、現実の固体力学的文脈における物性分布推定において実証すること。
• ドメイン内の変位センサー数と配置点数の変動に対して、手法の頑健性を検証すること。

提案手法

• 2ストリームのフィードフォワード深層ニューラルネットワークジェネレータを用い、2次元ドメイン全体における変位場と空間的に変化する縁係数を同時にモデル化する。
• 学習安定性とモード崩壊の緩和を図るため、勾配ペナルティを備えたワッサーシュタインGAN（WGAN-GP）フレームワーク内でジェネレータを訓練する。
• 線形弾性方程式のPDE残差を自動微分により計算し、ドメイン全体の配置点で別個の損失項として強制する。
• ノルムベクトルを用いて引っ張り力（トレクション力）を計算し、境界上のネウマン境界条件を明示的に追加の損失項として表現する。
• ディスクライマーは実測変形データと生成サンプルを区別するように訓練され、ジェネレータは敵対的損失と物理的損失の両方を最小化するように最適化される。
• 損失関数は敵対的損失、PDE残差損失、境界条件損失を統合し、縁係数の直接観測なしにエンドツーエンド学習を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 直接的な縁係数測定が得られない状況下で、PI-GANは空間的に変化する縁係数分布を正確に推定できるか？
• RQ2 変位センサーの数が推定された剛性分布の精度にどのように影響するか？
• RQ3 縁係数場の正確な推定を達成するために必要な最小配置点数はどの程度か？
• RQ4 生成された剛性サンプルの統計的性質（平均、標準偏差、相関長）は真の分布とどの程度一致するか？
• RQ5 物理制約を備えたWGAN-GPフレームワークは、固体力学分野における高次元的・確率的逆問題に対して安定的かつ信頼性のある学習を提供できるか？

主な発見

• PI-GANは物性の直接観測が一切ない状況下でも、物理的に妥当な縁係数場の実現を成功裏に生成した。
• 生成された剛性サンプルの平均、標準偏差、点ごとの分布、相関長は真の分布と強く一致した。
• 100件の変位測定と100個の配置点を用いた場合、推定された縁係数における相対L2誤差は十分に低く、正確な推定を示した。
• 測定数を1000件に固定した場合、配置点数を50個まで減らしても正確な推定が達成された。これはデータ効率の高さを示している。
• 相対L2誤差は測定数や配置点数の増加に伴い厳密に減少しなかった。これは学習のばらつきを示し、さらなるハイパーパramータチューニングの必要性を示唆している。
• 本研究は、固体力学分野およびPDE解に対して関数的依存関係を持たない未知量を推定する逆問題分野におけるPI-GANの初適用である。