[論文レビュー] Inverse Mellin Transform of Holonomic Sequences

Jakob Ablinger|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2016

Mathematics and Applications参考文献 11被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、ホロノミック関数と再帰式の解法に基づく記号計算フレームワークを用いて、ホロノミックな数列の逆メリン変換を計算する手法を提示する。メリン変換の双対性を活用し、HarmonicSumsパッケージに実装することで、ホロノミックな再帰で定義される数列の逆メリン変換を閉形式で評価可能となり、その結果はネストされた和および特殊関数の線形結合として表現される。

ABSTRACT

We describe a method to compute the inverse Mellin transform of holonomic sequences, that is based on a method to compute the Mellin transform of holonomic functions. Both methods are implemented in the computer algebra package HarmonicSums.

研究の動機と目的

• ホロノミックな数列の逆メリン変換を計算するアルゴリズム的手法を開発すること。
• 既存のホロノミック関数のメリン変換技術を、その逆問題にまで拡張すること。
• 実用的な記号計算を可能にするために、HarmonicSumsコンピュータ代数システムにこの手法を実装すること。
• 逆メリン変換を、不定的ネストされた和および特殊関数（多ログ関数や対数関数など）の線形結合として表現すること。
• 単純な指数的スケーリングを超えた一般形の逆メリン変換を扱えるようにすること、複数の基底関数を含むこと。

提案手法

• 生成関数を介したホロノミック関数とホロノミック数列の間の双対性を用いる。
• 微分方程式の操作と単項式導関数のメリン変換を用いて、与えられたホロノミック関数のメリン変換に対するホロノミック再帰式を導出する。
• Sigmaパッケージを用いて、ネストされた和および積の形でのダランベール解を求める。
• 逆変換のため、数列を $ c^n \cdot \mathbf{M}[f(x)](n) $ の形の成分に分解し、それぞれを個別に逆変換する。
• 数列が $ \sum_i c_i^n \cdot \mathbf{M}[f_i(x)](n) + d $ の形に一致するように、基礎となるホロノミック関数 $ f_i(x) $ と定数 $ c_i $ を体系的に同定する。
• 候補関数のための線形微分方程式を解き、記号的評価と再帰式の比較によってメリン変換の一致を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホロノミックな数列の逆メリン変換は、記号的手法を用いてアルゴリズム的に計算可能か？
• RQ2 ホロノミック関数のメリン変換は、元の関数を閉形式で回復できるように逆変換可能か？
• RQ3 数列がホロノミックである場合、そのメリン変換から再構成可能な関数のクラスは何か？
• RQ4 逆変換は、指数的係数を伴うより単純なホロノミック関数のメリン変換の線形結合として表現可能か？
• RQ5 ネストされた和および特殊関数は、ホロノミック数列の逆メリン変換を表現する上で果たす役割は何か？

主な発見

• ホロノミック数列の逆メリン変換は、各項が指数係数 $ c_i^n $ でスケーリングされたホロノミック関数のメリン変換の線形結合として計算可能である。
• 本手法は、$ f_n = \sum_{i=1}^n \frac{(-1)^i}{i} \sum_{j=1}^i \frac{1}{2^j j} $ の逆メリン変換を正しく計算し、$ \mathbf{M}\left[\frac{\log(2-x)}{2+x}\right](n) $、$ \mathbf{M}\left[\frac{1}{1+x}\right](n) $、および $ \operatorname{Li}_2(1/4) $、$ \pi^2 $、$ \log^2(2) $ を含む定数項の組み合わせとして表現した。
• $ \sum_{i=1}^n \frac{1}{(-2)^i i} $ の逆変換は $ \mathbf{M}\left[\frac{1}{2+x}\right](n) $ に一致し、有理関数に対数的成分を含む関数を回復できることが確認された。
• $ \sum_{i=1}^n \frac{(-1)^i}{i} $ の逆変換は $ \mathbf{M}\left[\frac{1}{1+x}\right](n) $ に一致し、$ \log(2) $ を含む補正項が付加されることで、交代調和級数を正確に扱えることが示された。
• 数列 $ f_n $ の逆メリン変換が $ \frac{-1}{(-2)^n} \mathbf{M}\left[\frac{\log(2-x)}{2+x}\right](n) + (-1)^n \log(2) \cdot \mathbf{M}\left[\frac{1}{1+x}\right](n) + \text{constant} $ に一致することが正しく同定され、定数項が明示的に評価された。
• 本手法はHarmonicSumsパッケージに完全に実装されており、数理物理学や数論に現れる複雑な数列の逆メリン変換を自動的に計算可能である。