[論文レビュー] Inverting weak dihomotopy equivalence using homotopy continuous flow

Philippe Gaucher|ArXiv.org|Jun 27, 2005

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 25被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、S-ホモトピーに関して無限に分割可能であるホモトピー連続フロー——つまり、S-ホモトピーに関して無限に分割可能であるフロー——を導入し、そのコブリエントなホモトピー連続フローの全部分圏において、弱双方向ホモトピー同値が双方向ホモトピーに関して可逆であることを示している。これは、モデル構造に依存せずに、方向付きホモトピー論におけるホワイトヘッドの定理のモデルを提供するものであり、S-ホモトピーに依存する従来の手法の限界を解消する。

ABSTRACT

A flow is homotopy continuous if it is indefinitely divisible up to S-homotopy. The full subcategory of cofibrant homotopy continuous flows has nice features. Not only it is big enough to contain all dihomotopy types, but also a morphism between them is a weak dihomotopy equivalence if and only if it is invertible up to dihomotopy. Thus, the category of cofibrant homotopy continuous flows provides an implementation of Whitehead's theorem for the full dihomotopy relation, and not only for S-homotopy as in previous works of the author. This fact is not the consequence of the existence of a model structure on the category of flows because it is known that there does not exist any model structure on it whose weak equivalences are exactly the weak dihomotopy equivalences. This fact is an application of a general result for the localization of a model category with respect to a weak factorization system.

研究の動機と目的

• 既存のフローにおけるモデル構造の制限を解消し、完全な双方向ホモトピー同値に関してホワイトヘッドの定理を実現すること。
• S-ホモトピーに関して無限に分割可能な、より豊かな双方向ホモトピー的構造を捉えるために、ホモトピー連続フローと呼ばれるフローのクラスを定義すること。
• 弱双方向ホモトピー同値が双方向ホモトピーに関して可逆であるような、コブリエントなホモトピー連続フローの圏を構成し、完全な双方向ホモトピー関係に関してホワイトヘッドの定理を実現すること。
• 弱因子化系を用いた局所化フレームワークを提供し、弱S-ホモトピー同値とT-ホモトピー生成子の両方を逆にするが、重要な不変量を保存すること。

提案手法

• フローの圏における弱因子化系 $J^{gl} \cup \mathcal{T}$ によって生成される、インジェクティブクラスに属する唯一の準同型が終端フローへのものであるようなフローをホモトピー連続フローと定義する。
• モデル圏における弱因子化系に関する一般局所化定理を、フローの圏に適用する。
• 局所化圏内のすべての準同型が、元のホモトピー型およびホモロジー不変量を保存することを保証するため、コブリエント置換関手 $Q$ を用いる。
• ペア $(\operatorname{cof}(J^{gl} \cup \mathcal{T}), \operatorname{inj}(J^{gl} \cup \mathcal{T}))$ が、コブリエント生成された弱因子化系をなすことを確立する。
• 2つに1つが成り立つ性質と、$\mathcal{S}$ および $\operatorname{cof}(J^{gl} \cup \mathcal{T})$ における不変性を活用して、$\mathcal{S}_{\mathcal{T}}$ に属する準同型が、元のホモトピー型および分岐・合流ホモロジーを保存することを示す。
• すべてのフローが弱S-ホモトピーモデル構造においてファイブレーション的であるという事実に依拠し、インジェクティブクラスの条件を単純化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フローの圏において、S-ホモトピー同値を超えて完全な双方向ホモトピー同値に関してホワイトヘッドの定理を実現できるか？
• RQ2 モデル構造にその弱同値が含まれる必要がない条件下で、弱双方向ホモトピー同値が双方向ホモトピーに関して可逆であるようなフローの部分圏は存在するか？
• RQ3 観察の精錬（T-ホモトピー）を、幾何学的および代数的不変量を保存するホモトピー的枠組みに統合する方法は何か？
• RQ4 局所化の下で、フロー間の準同型が元のホモトピー型および分岐・合流ホモロジーを保存するための条件は何か？
• RQ5 弱因子化系を用いてモデル圏を局所化することで、双方向ホモトピーに関してホワイトヘッドの定理を実現できるか？

主な発見

• コブリエントなホモトピー連続フローの全部分圏は、完全な双方向ホモトピー関係に関してホワイトヘッドの定理を実現する：ある準同型が弱双方向ホモトピー同値であることと、双方向ホモトピーに関して可逆であることとは同値である。
• コブリエントなホモトピー連続フローの圏は、すべての双方向ホモトピー型を含む十分に大きな圏であり、広範な適用可能性を有する。
• フローの圏における弱双方向ホモトピー同値に関する局所化は、$\operatorname{cof}(J^{gl} \cup \mathcal{T})$ によって生成される弱因子化系に関する局所化と同値であり、双方向ホモトピー論の新しいモデルを確立する。
• $\mathcal{S}_{\mathcal{T}}$ に属する準同型は、元のホモトピー型および分岐・合流ホモロジー理論を保存する。これは、それらが弱S-ホモトピー同値と、これらの不変量を保存するコブリエントの合成として表されるからである。
• この結果は、弱同値が正確に弱双方向ホモトピー同値に一致するモデル構造が存在しない（事実として知られている）という事実に依拠せず、非自明かつ基盤的である。
• 一般のモデル圏における弱因子化系に関する局所化定理を用いることで、この結果が達成されており、双方向ホモトープ的局所化のための強固で一般的な枠組みを提供する。