[論文レビュー] Investigations on $c$-Boomerang Uniformity and Perfect Nonlinearity

Pantelimon Stănică|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2020

Coding theory and cryptography参考文献 27被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、$c$-微分を用いたブーメラン均一性の新しい拡張として $c$-ブーメラン均一性を導入し、すべての特徴において完全非線形関数および逆関数におけるその挙動を特徴づけている。ウェルシュ変換との関連を確立し、逆関数の $c$-BCT（ブーメラン接続表）の最大エントリが 4 以下であることを証明している。この値は特定の条件下で達成される。

ABSTRACT

We defined in~\cite{EFRST20} a new multiplicative $c$-differential, and the corresponding $c$-differential uniformity and we characterized the known perfect nonlinear functions with respect to this new concept, as well as the inverse in any characteristic. The work was continued in~\cite{RS20}, investigating the $c$-differential uniformity for some further APN functions. Here, we extend the concept to the boomerang uniformity, introduced at Eurocrypt '18 by Cid et al.~\cite{Cid18}, to evaluate S-boxes of block ciphers, and investigate it in the context of perfect nonlinearity and related functions.

研究の動機と目的

• ブーメラン均一性の概念を $c$-微分に拡張し、ブロック暗号における S ボックスの分析に新たなツールとして $c$-ブーメラン均一性を導入すること。
• すべての有限体の特徴において、完全非線形関数および逆関数における $c$-ブーメラン均一性の挙動を調査すること。
• $c$-ブーメラン均一性をウェルシュ変換を用いて特徴づけ、従来の古典的ブーメラン均一性に関する結果を一般化すること。
• 逆関数の $c$-BCT（ブーメラン接続表）の最大可能なエントリを特定し、その値が達成される条件を同定すること。

提案手法

• $c$-微分フレームワークを用いて $c$-ブーメラン均一性を定義し、古典的ブーメラン攻撃解析を乗法的微分に拡張する。
• $c$-微分条件に基づく方程式系を、$x$ のさまざまな代入に対して解くことにより、$c$-BCT エントリを導出する。
• 代数的幾何学および体論的技法を用いて、有限体上での二次方程式の解の個数を分析し、1つまたは2つの解が存在する条件を同定する。
• ウェルシュ変換を用いて $c$-ブーメラン均一性を特徴づけ、Lie らの古典的ブーメラン均一性に対するアプローチを一般化する。
• $\mathbb{F}_{p^n}$ における逆関数を、$c$-ブーメランシステムにおける $x$ のすべての可能なケースを検討することで分析し、解の個数の分類を導く。
• 得られた二次方程式の判別式を用いて、解が1つまたは2つ存在するかどうかを特定し、異なるケース間の解集合の重複を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $c$-ブーメラン均一性の概念は、$c$-微分を用いてどのように古典的ブーメラン均一性を一般化するか？
• RQ2 $\mathbb{F}_{p^n}$ 上の逆関数における $c$-BCT の最大エントリは何か？ そして、その値はどのような条件下で達成されるか？
• RQ3 $c$-ブーメラン均一性はウェルシュ変換とどのように関連するか？ また、古典的ブーメラン均一性と同様に特徴づけられるか？
• RQ4 完全非線形関数は有界な $c$-ブーメラン均一性を示すか？ また、それらの古典的微分均一性と比較するとどうなるか？
• RQ5 異なるケースからの複数の解集合が重複する条件は何か？ そして、これらの重複は $c$-BCT エントリにどのように影響するか？

主な発見

• 逆関数の $c$-BCT 最大エントリは 4 以下であり、$c$ に関する特定の代数的条件を満たす場合にこの値が達成される。
• 最大 $c$-BCT エントリの 4 は、一般ケース（ケース5）が、同時にケース1とケース2、またはケース3とケース4の両方と組み合わさった場合に発生し、解の寄与が重複することを示している。
• $1+2c-2c^2+2c^3+c^4=0$ という条件は、$c$-BCT エントリに 2 の寄与をもたらし、この条件が成り立つのは $p=19$ かつ $c=4$ または $c=4^{-1}$ の場合に限る。
• 異なるケースからの解集合の重複はまれであり、特定の多項式恒等式（例：$b_3$ と $b_4$ の等価性に対して $1-2c-2c^2-2c^3+c^4=0$）が成り立つ場合にのみ発生する。
• 各ケースから得られる二次方程式の判別式は、解の個数（0、1、または2つ）を決定する。これは判別式が $\mathbb{F}_{p^n}^*$ 内の平方数かどうかに依存する。
• $c$-BCT エントリは、$x$ の5つの異なるケースを解くことで完全に決定され、重複する解の数が限られているため、最終的な最大値は有界である。