[論文レビュー] Irreducible representations of Leavitt path algebras

Xiaowu Chen|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2011

Advanced Operator Algebra Research参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、左無限路と吸収点で終わる有限路を用いて、Leavitt path代数の既約表現を構成し、行有限なクワイバーに対する代数的分岐系を用いた既約表現の分類を確立する。主な貢献は、有理的・無理的無限路と吸収点を用いた完全で同型でないパrameter化と、無限体上での完全に可約表現の忠実性の証明である。

ABSTRACT

We construct some irreducible representations of the Leavitt path algebra of an arbitrary quiver. The constructed representations are associated to certain algebraic branching systems. For a row-finite quiver, we classify algebraic branching systems, to which irreducible representations of the Leavitt path algebra are associated. For a certain quiver, we obtain a faithful completely reducible representation of the Leavitt path algebra. The twisted representations of the constructed ones under the scaling action are studied.

研究の動機と目的

• 任意のクワイバーに対するLeavitt path代数の既約表現を、左無限路と吸収点で終わる有限路を用いて構成すること。
• 行有限なクワイバーに対する代数的分岐系に関連する既約表現を分類すること。
• 有理的／無理的無限路と吸収点を用いて、既約表現の完全で同型でないパrameter化を確立すること。
• 特定の条件下で、Leavitt path代数の完全に可約表現の忠実性を証明すること。
• スケーリング作用の下でのねじれ表現を研究し、新たな既約表現を導出すること。

提案手法

• 固定された頂点で終わる路で張られる表現空間を用いて、左無限路による既約表現を構成し、路の積によって作用を定義する。
• 吸収点で終わる有限路に関連する表現を定義し、吸収点における冪等元によって生成される最小左イデアルと同型とする。
• 表現をパrameter化するための代数的分岐系を導入し、既約性を路構造と安定性条件に関連付ける。
• 分岐系へのスケーリング作用を用いてねじれ表現を生成し、新たな既約表現を導出する。
• $L_k(Q)$ の元の標準形を適用し、表現空間への作用を分析することで忠実性を証明する。
• 無限体の条件を活用して、$\lambda \in k^\times$ のパラメータを選択し、ルート作用の線形結合が常に非ゼロとなるようにし、非自明性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のクワイバーに対するLeavitt path代数の既約表現を、ルート構造を用いて体系的にどのように構成できるか？
• RQ2 行有限なクワイバーに対して、既約表現を生成する代数的分岐系の分類は何か？
• RQ3 $L_k(Q)$ のすべての最小左イデアルが、無限路または有限路を用いて構成された既約表現として実現可能か？
• RQ4 完全に可約な$ L_k(Q) $の表現が忠実であることは可能か？ どのような条件下で可能か？
• RQ5 スケーリング作用の下でのねじれ表現は、どのようにして新たな既約表現を生成するか？

主な発見

• 本稿は、$L_k(Q)$ の完全な一意的非同型既約表現族を、直和 $\widetilde{Q}^{\rm irr}_{\infty} \cup (k^\times \times \widetilde{Q}^{\rm rat}_{\infty}) \cup Q^{s}_0$ によってパラメータ化する。
• 行有限なクワイバーに対して、代数的分岐系に関連する既約表現は、左無限路（有理的または無理的）および吸収点で終わる有限路を用いて構成されたものに限る。
• 表現 $\mathcal{S} = \bigoplus_{[p]\in\widetilde{Q}^{\rm irr}_{\infty}} \mathcal{F}_{[p]} \oplus \bigoplus_{\lambda\in k^\times, [p]\in\widetilde{Q}^{\rm rat}_{\infty}} \mathcal{F}^{\lambda}_{[p]} \oplus \bigoplus_{i\in Q^{s}_0} \mathcal{N}_i$ は、$k$ が無限体であるとき忠実である。
• スケーリング作用の下でのねじれ表現は新たな既約表現を生成し、$\mathcal{F}^{\lambda}_{[p]} \simeq \mathcal{F}^{\lambda'}_{[p]}$ となるのは $\lambda = \lambda'$ のときに限るため、$\lambda \in k^\times$ に対して非同型であることが保証される。
• 構成された表現は、可算なクワイバーに対して $L_k(Q)$ のすべての最小左イデアルを含み、命題4.3で示されている。
• 忠実性の証明は、無限体の条件に依存し、$\lambda \in k^\times$ を選ぶことで、係数 $\lambda_1 + \sum_{i\in I_1} \lambda_i \lambda^{m_i} \neq 0$ となるようにし、$\mathcal{F}^{\lambda}_{[p]}$ 上での作用が非自明であることを保証する。