[論文レビュー] Irregular sets, the $\beta$-transformation and the almost specification property

Daniel J. Thompson|arXiv (Cornell University)|May 6, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、コンpaktoな距離空間上の連続写像が「ほぼ指定性（almost specification）」性質を満たす場合——g-ほぼ積性性よりわずかに弱い——に、連続観測量の不規則集合は空集合であるか、あるいは全位相的エントロピーおよび全ハウスドルフ次元を有することを確立する。主な貢献は、βシフトおよびβ変換に対してこの性質を示したことである。不規則集合は空または位相的エントロピー log β および次元 1 を有する。一般化されたカトウのエントロピー公式とほぼ全被覆集合を用いて証明された。

ABSTRACT

Let $(X,d)$ be a compact metric space, $f:X \mapsto X$ be a continuous map satisfying a property we call almost specification (which is slightly weaker than the $g$-almost product property of Pfister and Sullivan), and $\phi$ be a continuous function on $X$. We show that the set of points for which the Birkhoff average of $\phi$ does not exist (which we call the irregular set) is either empty or has full topological entropy. Every $\beta$-shift satisfies almost specification and we show that the irregular set for any $\beta$-shift or $\beta$-transformation is either empty or has full topological entropy and Hausdorff dimension.

研究の動機と目的

• 連続写像がほぼ指定性を満たす系における連続観測量の不規則集合が空集合であるか、あるいは全位相的エントロピーを有することを確立すること。
• 多分岐解析の手法の適用範囲を、全指定性を有する系にとどまらず、特にβシフトおよびβ変換へと拡張すること。
• βシフトおよびβ変換における不規則集合が空集合であるか、あるいは全位相的エントロピー log β および全ハウスドルフ次元 1 を有することを示すこと。
• 全指定性を有しない系に対し、一般化されたカトウ型エントロピー公式およびほぼ全被覆集合の技法を開発すること。
• 不規則集合の全エントロピーを示す2つの手法——ほぼ指定性と、有限型シフトによる内部近似——を比較・対比すること。

提案手法

• g-ほぼ積性性の弱体化として「ほぼ指定性」性質を導入し、軌道の接続にわずかな誤差を許容する。
• ほぼ全被覆集合と強く分離された集合を用いて、一般化されたカトウの公式によるエントロピーの導出を展開する。
• ほぼ指定性を用いて、不規則集合内の任意の点を制御された誤差で近似する軌道セグメントを構成する。
• ほぼ指定性設定下での圧力の変分原理を適用し、エントロピーの下界を得る。
• βシフトを有限型シフトの内部近似によって近似し、不規則集合の全エントロピーおよび全次元を別証明する。
• すべてのβシフトがほぼ指定性を満たすことを活用する。これは、全指定性がLebesgue測度ゼロのβ値の集合でのみ成り立つのとは対照的である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ほぼ指定性を満たす系における連続観測量の不規則集合が非空の場合、全位相的エントロピーを有するか？
• RQ2 βシフトおよびβ変換における不規則集合の位相的エントロピーおよびハウスドルフ次元は何か？
• RQ3 不規則集合の全エントロピーは、ほぼ指定性法と、有限型シフトによる内部近似の両方で確立可能か？
• RQ4 非一様的双曲的系、たとえばβ変換に対して、ほぼ指定性性は全指定性性と比較してどの程度適用可能か？
• RQ5 g-ほぼ積性性（本稿では「ほぼ指定性」と名称変更）は、多分岐解析をより広いクラスの力学系へ拡張するために果たす役割は何か？

主な発見

• ほぼ指定性を満たす系における任意の連続観測量の不規則集合は、空集合であるか、あるいは全位相的エントロピーを有する。
• すべてのβシフトまたはβ変換において、不規則集合は空集合であるか、あるいは正確に位相的エントロピー log β を有する。
• βシフトおよびβ変換における不規則集合は、非空である場合、ハウスドルフ次元 1 を有する。
• すべてのβシフトはほぼ指定性を満たすが、全指定性はLebesgue測度ゼロのβ値の集合でのみ成り立つ。
• 本稿で開発された一般化されたカトウの公式により、全指定性を有しない系に対してもエントロピー推定が可能になる。
• 2つの異なる手法——ほぼ指定性に基づくものと、有限型シフトによる内部近似に基づくもの——がともに、βシフトにおける不規則集合の全エントロピーおよび全次元を導く。