[論文レビュー] Is the Dirac particle completely relativistic?

Yuri A. Rylov|ArXiv.org|Dec 5, 2004

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 6被引用数 18

ひとこと要約

この論文は、相対論的共変な方程式で記述されるにもかかわらず、ディラック粒子が絶対的な γ-行列に依存しているため、完全に相対論的ではないと主張している。これらの γ-行列を動的脱量子化によって排除し、優先的な時的ベクトル fᵏ を導入することで、古典的ディラック粒子は非相対論的になる。本論文は、fᵏ をエネルギー運動量ベクトルに結合する最小限の修正を提案し、完全に相対論的不変性を満たす古典的ディラック粒子（mDcl）を構築した。その解は明示的に導出され、元の非相対論的形式とは異なることが示された。

ABSTRACT

The Dirac particle, i.e. the dynamic system S_D, described by the free Dirac equation is investigated. Although the Dirac equation is written usually in the relativistically covariant form, the dynamic system S_D is not completely relativistic, because its description contains such absolute objects as $γ$-matrices $γ^{k}$, forming a matrix vector. By means of the proper change of variables the $γ$-matrices are eliminated, but instead of them the constant timlike vector $f^{k}$ appears. The vector $f^{k}$ describes an absolute splitting of the space-time into space and time, which is characteristic for the nonrelativistic description. To investigate a degree of the violation of the S_D relativistic description, we consider the classical Dirac particle S_{Dcl}, obtained from S_D by means of the relativistic dynamic disquantization. The classical dynamic system S_{Dcl} appears to be composite, because it has ten degrees of freedom. Six translational degrees of freedom are described relativistically (without a reference to $f^{k}$), whereas four internal degrees of freedom are described nonrelativistically, because their description refers to $f^{k}$. Coupling the absolute vector $f^{k}$ with the energy-momentum vector of S_{Dcl}, the classical Dirac particle S_{Dcl} is modified minimally. The vector $f^{k}$ ceases to be absolute, and the modified classical Dirac particle S_{mDcl} becomes to be completely relativistic. The dynamic equations for S_{mDcl} are solved. Solutions for S_{Dcl} and S_{mDcl} are compared.

研究の動機と目的

• 自由ディラック方程式によって記述されるディラック粒子が、共変形式をとっているにもかかわらず、本当に相対論的であるかどうかを調査すること。
• ディラック系における非相対論的振る舞いの原因を特定すること、特に γ-行列が絶対的対象として機能している役割を特定すること。
• 動的脱量子化を用いて古典的アナロジー（S_Dcl）を構築し、それが混合された相対論的および非相対論的自由度を持つ複合的性質を明らかにすること。
• fᵏ の絶対的性質を取り除くために、エネルギー運動量ベクトル pᵏ に fᵏ を結合する最小限の修正（S_mDcl）を提案し、完全な相対論的不変性を達成すること。
• 元のおよび修正された古典的ディラック粒子の運動方程式を解き、その解を比較すること。

提案手法

• 4-電流 jᵏ 沿いの方向微分に偏微分を置き換えることで、ディラック作用に動的脱量子化を施し、場の運動方程式を世界線に沿う常微分方程式に変換する。
• jᵏ、Sᵏ、φ、κ の8つの流体的変数を導入し、元のスピンダー場 ψ を置き換えることで、10自由度を持つ古典的アナロジー S_Dcl を構築する。
• 絶対的時的ベクトル fᵏ の存在が、S_Dcl における非相対論的振るまいの原因であると特定する。これは完全なローレンツ不変性を破る。
• S_Dcl を最小限に修正し、fᵏ をエネルギー運動量ベクトル pᵏ に結合させることで、fᵏ の絶対的性質を排除し、修正系 S_mDcl において完全な相対論的不変性を回復する。
• 回転座標系における制約とパrametrization を用いて S_mDcl の運動方程式を解き、yᵏ と ξᵏ の明示的解を導出する。この解では ω が一定となる。
• 周波数 ω = -2κ₀ε₀m/(γħ) および運動量 p₀ = -κ₀m/γ が、相対論的解の主要な結果として得られた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜディラック方程式の共変性にもかかわらず、ディラック粒子は完全に相対論的ではないのか？
• RQ2 γ-行列はディラック系に非相対論的特徴をもたらすために果たす役割は何か？
• RQ3 脱量子化によって得られた古典的ディラック粒子 S_Dcl は、どのようにして混合された相対論的および非相対論的振るまいを示すのか？
• RQ4 絶対的ベクトル fᵏ が引き起こす非相対論的特徴を、物理的内容を保持したまま除去できるか？
• RQ5 完全に相対論的である修正古典的ディラック粒子 S_mDcl の明示的解は何か？ そして、S_Dcl とはどのように異なるのか？

主な発見

• ディラック粒子 S_D は、絶対的 γ-行列に依存しているため、完全に相対論的ではない。これは完全なローレンツ不変性を破る。
• 動的脱量子化によって得られた古典的ディラック粒子 S_Dcl は、fᵏ に依存するため、6つの相対論的移動自由度と4つの非相対論的内部自由度を有する複合的性質を持つ。
• ベクトル fᵏ は、時空を空間と時間に絶対的に分割するものであり、非相対論的物理学の特徴であることが示された。
• fᵏ をエネルギー運動量ベクトル pᵏ に結合させることで、修正された古典的ディラック粒子 S_mDcl は完全に相対論的になり、fᵏ はもはや絶対的ではなくなる。
• S_mDcl の解は明示的に導出され、yᵏ = {γ, √(γ²−1)cos(ωτ₀+ϕ), √(γ²−1)sin(ωτ₀+ϕ), 0} となり、ω = -2κ₀ε₀m/(γħ) である。これは内部運動の周期的振るまいを示している。
• 運動量は p₀ = -κ₀m/γ であり、周波数 ω は一定であることが確認され、相対論的解の整合性が裏付けられた。