[論文レビュー] Isogenous decomposition of the Jacobian of generalized Fermat curves

Mariela Carvacho, Rub ́ En A. Hidalgo+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$p$ が素数であるときの型 $(p,n)$ の一般化フェルマー曲線のヤコビ多様体に対して、巡回 $p$-多角形曲線のヤコビ多様体の積への同種分解を提供する。群作用と代数幾何学的技法を用いて、これらの $p$-多角形曲線の明示的方程式を導出し、ヤコビ多様体が楕円曲線や高次元ヤコビ多様体の積に同種であることを示し、楕円曲線の積に同種であるような新しい族のリーマン面を提供する。

ABSTRACT

A closed Riemann surface $S$ is called a generalized Fermat curve of type $(p,n)$, where $p,n \geq 2$ are integers, if it admits a group $H \cong {\mathbb Z}_{p}^{n}$ of conformal automorphisms so that $S/H$ is an orbifold of genus zero with exactly $n+1$ cone points, each one of order $p$. It is known that $S$ is a fiber product of $(n-1)$ classical Fermat curves of degree $p$ and, for $(p-1)(n-1)>2$, that it is a non-hyperelliptic Riemann surface. In this paper, assuming $p$ to be a prime integer, we provide a decomposition, up to isogeny, of the Jacobian variety $JS$ as a product of Jacobian varieties of certain cyclic $p$-gonal curves. Explicit equations for these $p$-gonal curves are provided in terms of the equations for $S$. As a consequence of this decomposition, we are able to provide explicit positive-dimensional families of closed Riemann surfaces whose Jacobian variety is isogenous to the product of elliptic curves.

研究の動機と目的

• 一般化フェルマー曲線のヤコビ多様体が、低 genus のヤコビ多様体への同種分解を許すかどうかを特定すること。
• $p$ が素数である場合に、分解に現れる $p$-多角形曲線の明示的方程式を提供すること。
• 楕円曲線の積に同種であるヤコビ多様体をもつ正次元族のリーマン面を構成し、このような分解に関する未解決の問題に応えること。
• ハイパーオーヴァル曲線およびフェルマー曲線に関する既知の結果を、アーベル的自己同型群をもつより広い非ハイパーオーヴァルリーマン面の族へと拡張すること。

提案手法

• 著者たちは、$H \triangleleft \text{Aut}(S)$ で、$H \to \text{Aut}(S)$ が $\mathbb{Z}_p^n$ に同型である群作用を用い、商 $S/H$ 及びそのオーヴァルド構造を分析する。
• 彼らは、群作用をもつ曲線のヤコビ多様体の分解に関するカニ＝ローゼンの定理を適用し、$JS$ の同種分解を導出する。
• 各 $H_i$ を $H$ の部分群として、$S/H_i$ を分析し、その genus とシグネチャを特定することで、関連する $p$-多角形曲線を同定する。
• 一般化フェルマー曲線の定義方程式から、モノドロミーおよび群作用の考察を経て、$p$-多角形曲線の明示的代数方程式を構成する。
• この方法は、分岐点の $r$-組およびそれに関連するモノドロミー情報の分類に依存し、関連する代数曲線 $E_{(a,\alpha)}$ の既約成分を定義する。
• 分解は、 principally polarized abelian varieties の理論およびポincare の完全可約性定理を用いて検証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $p$ が素数であるとき、型 $(p,n)$ の一般化フェルマー曲線のヤコビ多様体は、同種の観点から低 genus の曲線のヤコビ多様体の積に分解可能か？
• RQ2 分解に現れる $p$-多角形曲線の明示的方程式は何か？
• RQ3 楕円曲線の積に同種であるヤコビ多様体をもつ正次元族のリーマン面は、既知のハイパーオーヴァルの場合を除いて存在するか？
• RQ4 一般化フェルマー曲線の自己同型群の構造は、そのヤコビ多様体の同種分解にどのように影響するか？

主な発見

• $p=2$ の場合、$\mathbb{Z}_2^4$ の作用をもつ genus 5 のリーマン面のヤコビ多様体は、4 個の楕円曲線の積に同種であり、2 次元族を形成する。
• $\mathbb{Z}_2^5$ の作用をもつ genus 17 のリーマン面の 1 次元族は、楕円曲線の積に同種なヤコビ多様体をもつ。
• $\mathbb{Z}_2^6$ の作用をもつ genus 49 のリーマン面のヤコビ多様体は、24 個の楕円曲線の積に同種である。
• $p=3$ の場合、$\mathbb{Z}_3^3$ の作用をもつ genus 10 のリーマン面の 1 次元族で、商が genus 0 で 3 個の 3 階の特異点をもつものは、5 個の楕円曲線と 1 個の 5 次元ヤコビ多様体の積に同種なヤコビ多様体をもつ。
• $p=3$ の場合、$\mathbb{Z}_3^4$ の作用をもつ genus 65 のリーマン面の 2 次元族で、商が genus 0 で 5 個の 3 階の特異点をもつものは、40 個の楕円曲線と 5 個の 5 次元ヤコビ多様体の積に同種なヤコビ多様体をもつ。
• 古典的フェルマー曲線 $F_8$（genus 21）のヤコビ多様体は、$E_2^{21}$ に同種であり、ここで $E_2: v^2 = u^4 + 1$ である。これは文献における予想を確認する。