[論文レビュー] Isolated subsemigroups in the variants of T_n

Volodymyr Mazorchuk, Galyna Tsyaputa|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2005

semigroups and automata theory参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、全変換半群 $\mathcal{T}_n$ の変種において、乗法が等幂元を用いたサンドイッチ作用により変形された場合、分離的、完全に分離的、および凸部分半群を分類する。著者らは、安定ランクに基づいて3つの場合に分けて解析することで、完全な構造的分類を確立した。安定ランクは最大、$l-1$、および $l-2$ 以下に分けられる。その結果、安定ランク $l-1$ の部分半群が最も複雑なクラスを形成することが明らかになった。一方、低いランクの要素は、分離的部分半群にすべての低いランクの要素を含めるよう強制する。

ABSTRACT

We classify all isolated, completely isolated, and convex subsemigroups in the semigroup T_n of all transformations of an n-element set, considered as the semigroup with respect to a sandwich operation.

研究の動機と目的

• 全変換半群 $\mathcal{T}_n$ の変種における、すべての分離的、完全に分離的、および凸部分半群を分類すること。
• サンドイッチ積 $x*_{a}y = xay$ における部分半群の構造を理解すること、特にサンドイッチ要素 $a$ が等幂元である場合に注目すること。
• 安定ランクが分類を整理する役割を果たす仕組みを分析し、問題を3つの場合に分けること：最大安定ランク $l$、$l-1$、および $l-2$ 以下。
• 分離的、完全に分離的、左/右凸的、または凸的部分半群であるための条件を特定すること。
• サンドイッチ要素のランクが1または2の場合などの例外的な場合の部分半群の明示的記述を提供すること。

提案手法

• サンドイッチ積 $x*_{a}y = xay$ を用い、$a$ を等幂元とすることで、一般性を失うことなく $a$ が等幂元である場合に帰着する。
• 要素の安定ランクに基づいて部分半群を分類する。安定ランクとは、要素が生成する巡回部分半群内に唯一存在する等幂元のランクである。
• $\mathcal{T}_n^{(l)}$、つまり最大安定ランク $l$ の要素の集合の構造を分析し、自然な同値関係を備えた部分半群であり、商が長方形バンドであることを示す。
• この長方形バンドへの射影を用いて、バンドの部分半群と $\mathcal{T}_n^{(l)}$ の分離的部分半群との間の全単射を確立する。
• 安定ランク $l-1$ の要素に対して、分離的部分半群を3つの明確なクラスに分類する。最初のクラスは $\mathcal{T}_n^{(l)}$ の場合に類似しており、残りの2つのクラスは最初のクラスの複数のコピーから成る。
• 安定ランク $\leq l-2$ の要素を含む任意の分離的部分半群は、すべての安定ランク $\leq l-1$ の要素を含む必要があることを証明し、強い構造的制約を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathcal{T}_n$ の変種における分離的部分半群の完全な分類は何か？
• RQ2 分離的、完全に分離的、左/右凸的、および凸的部分半群のクラスは、$\mathcal{T}_n$ の変種においてどのように構造的に異なるか？
• RQ3 要素の安定ランクが分離的部分半群の構造を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ4 なぜ安定ランク $l-1$ の要素が最も複雑で非自明な分離的部分半群のクラスを生じるのか？
• RQ5 サンドイッチ要素のランクが最小または小さい場合（例：1または2）に、分離的部分半群の構造はどのように変化するのか？

主な発見

• 任意の $\mathcal{T}_n$ の変種において、最大安定ランク $l$ の要素の集合 $\mathcal{T}_n^{(l)}$ は部分半群をなし、$\mathcal{T}_n^{(l)}$ の分離的部分半群は、自然な商写像を介して長方形バンドの部分半群と一対一対応する。
• 安定ランク $l-1$ の要素の分離的部分半群は3つの明確なクラスに分類され、最初のクラスは $\mathcal{T}_n^{(l)}$ の構造に類似しており、残りの2つのクラスは最初のクラスの複数のコピーから成る。
• 分離的部分半群が安定ランク $\leq l-2$ の要素を含むならば、すべての安定ランク $\leq l-1$ の要素を含む必要がある。これは強い閉包性質を示している。
• サンドイッチ要素のランクが1の場合、分離的部分半群は非空な $X \subset N$ に対して $\bigcup_{i\in X} \sqrt{\theta_i}$ の形の和集合に限り、すべての分離的部分半群は完全に分離的かつ右凸的である。
• サンドイッチ要素のランクが2の場合、分離的部分半群には $F(X,Y)$ および $F(X,Y) \cup \mathcal{T}_n^{(1)}$（非空な $X \subset \mathcal{X}$、$Y \subset \mathcal{Y}$）が含まれ、凸的部分半群は $\mathcal{T}_n$ と $\mathcal{T}_n^{(2)}$ のみである。
• $n=2$ の場合、分離的部分半群は $\mathcal{T}_2$、$\mathcal{S}(\{1,2\})$、$\mathcal{T}_2 \setminus \mathcal{S}(\{1,2\})$、および2つの最大部分群 $G(\varepsilon_{1,2})$、$G(\varepsilon_{2,1})$ である。完全に分離的部分半群は最初の3つである。