[論文レビュー] Isoperimetric, Sobolev and Poincaré inequalities on hypersurfaces in sub-Riemannian Carnot groups

Francescopaolo Montefalcone|ArXiv.org|Oct 29, 2009

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 51被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、水平コーエンス・フォーミュラ、特徴的点で有効なブロー・アップ定理、および水平固有面積の一般化された第1変分公式を用いて、部分リーマン多様体のカルノー群における滑らかな超曲面において、等周的、ソボレフ的、ポンカラの不等式を確立する。主な貢献は、水平平均曲率を含む鋭い等周的不等式であり、これは特徴的集合が制御されたコンパクトな超曲面において関連するソボレフ的およびポンカラ型不等式を示す。

ABSTRACT

In this paper we shall study smooth submanifolds immersed in a k-step Carnot group G of homogeneous dimension Q. Among other results, we shall prove an isoperimetric inequality for the case of a $C^2$-smooth compact hypersurface S with - or without - boundary $\partial S$; S and $\partial S$ are endowed with their homogeneous measures, actually equivalent to the intrinsic (Q-1)-dimensional and (Q-2)-dimensional Hausdorff measures with respect to some homogeneous metric $\varrho$ on G; see Section 5. This generalizes a classical inequality, involving the mean curvature of the hypersurface, proven by Michael and Simon [63] and, independently by Allard [1]. In particular, from this result one may deduce some related Sobolev-type inequalities; see Section 7. The strategy of the proof is inspired by the classical one. In particular, we shall begin by proving some linear isoperimetric inequalities. Once this is proven, one can deduce a local monotonicity formula and then conclude the proof by a covering argument. We stress however that there are many differences, due to our different geometric setting. Some of the tools which have been developed ad hoc in this paper are, in order, a ``blow-up'' theorem, which also holds for characteristic points, and a smooth Coarea Formula for the HS-gradient; see Section 3 and Section 4. Other tools are the horizontal integration by parts formula and the 1st variation of the H-perimeter already developed in [68], [69], and here generalized to hypersurfaces having non-empty characteristic set. Some natural applications of these results are in the study of minimal and constant horizontal mean curvature hypersurfaces. Moreover we shall prove some purely horizontal, local and global Poincaré-type inequalities as well as some related facts and consequences; see Section 4 and Section 5.

研究の動機と目的

• カルノー群の部分リーマン設定において、古典的な等周的、ソボレフ的、ポンカラの不等式を拡張すること。
• 境界を有するか無いかにかかわらず、C^2-滑らかなコンパクトな超曲面について、特徴的集合が空でない場合も含めてこれらの不等式を確立すること。
• 水平コーエンス・フォーミュラ（H勾配用）および特徴的点で有効なブロー・アップ定理を含む幾何学的道具を開発すること。
• 特徴的集合が消えない超曲面に対し、水平固有面積の第1変分公式を一般化すること。
• この幾何的設定において、グローバルおよびローカルのポンカラ型不等式および関連するソボレフ埋め込みを導出すること。

提案手法

• マイケルとサイモン、アラルドの古典的証明戦略を適応し、まず線形等周的不等式を証明すること。
• H勾配用の水平コーエンス・フォーミュラを導入し、水平距離関数の等高面に沿った積分を可能にする。
• 特徴的点でも有効な水平固有面積のためのブロー・アップ定理を開発し、局所的解析にとって不可欠である。
• 線形等周的不等式から導かれる弱い単調性公式と被覆論法を用いて、主たる等周的不等式を証明する。
• 強い線形不等式およびその単調性公式を用いて、水平固有面積の漸近的挙動とグローバル不等式を導出する。
• 特徴的集合が空でない超曲面に対し、水平固有面積の第1変分を一般化し、特異点での解析を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 k段階のカルノー群におけるC^2-滑らかな超曲面に対して、水平平均曲率を含む鋭い等周的不等式を確立できるか？
• RQ2 非可積分分布を持つ部分リーマン設定において、マイケルとサイモンの古典的証明戦略をどのように適応できるか？
• RQ3 特徴的点は、部分リーマン超曲面上の等周的およびソボレフ理論において果たす役割は何か？
• RQ4 この幾何的設定において、等周的不等式からグローバルおよびローカルのポンカラ型不等式を導出できるか？
• RQ5 カルノー群における超曲面上の正確なソボレフ埋め込みは何か？また、それらは同次次元Qにどのように依存するか？

主な発見

• k段階のカルノー群におけるC^2-滑らかなコンパクトな超曲面Sに対して、水平平均曲率と同次次元(Q-1)のハウスドルフ測度を含む等周的不等式が証明された。
• グローバルなソボレフ型不等式が確立された：任意のψ ∈ C^1_0(S)に対して、ψのL^{(Q-1)/(Q-2)}-ノルムは、|ψ|のL^1-ノルムと|grad_H S ψ|のL^1-ノルムの和に定数倍されたもので上から抑えられる。
• p ∈ [1, Q-1[ に対して、ソボレフ埋め込みが成り立つ：すべてのq ∈ [p, p*]に対して、ψのL^q(S)-ノルムは、L^p(S)-ノルムと|grad_H S ψ|のL^p(S)-ノルムの和に定数倍されたもので上から抑えられる。
• p = Q-1のとき、すべてのq ∈ [Q-1, ∞[ に対して、ψのL^q(S)-ノルムは、同じノルムの制御で上から抑えられる。
• 強い線形等周的不等式が導出され、水平固有面積の単調性公式を示し、この公式を用いて点の近傍における水平固有面積の漸近的挙動を解析する。
• 本稿では、仮定(H)または(H2)の下で、相対的にコンパクトな開集合U ⊂ Sの境界の水平固有面積が、距離関数のH勾配の全 variation の定数倍によって制御されることを証明した。