[論文レビュー] Isospectral deformations of the Dirac operator

Oliver Knill|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2013

Advanced Operator Algebra Research参考文献 42被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、グラフまたは多様体上のディラック作用素 $D = d + d^*$ を $D' = [B, h(D)]$ を通じて変形する可積分なハミルトニアン系を導入する。この変形はスペクトルを保存しつつ、外微分 $d(t)$、ラプラシアン $M(t)$、および計量を変化させる。主な結果として、コホモロジーは不変のままに保たれるが、幾何学的構造とポテンシャル $V(t) = b(t)^2$ は変化し、線形波動の漸近的挙動と幾何的インフレーションが生じる。スペクトルの不変性にもかかわらず、スーパーシンメトリーは測定不能になる。

ABSTRACT

We give more details about an integrable system in which the Dirac operator D=d+d^* on a finite simple graph G or Riemannian manifold M is deformed using a Hamiltonian system D'=[B,h(D)] with B=d-d^* + i b. The deformed operator D(t) = d(t) + b(t) + d(t)^* defines a new exterior derivative d(t) and a new Dirac operator C(t) = d(t) + d(t)^* and Laplacian M(t) = d(t) d(t)^* + d(t)* d(t) and so a new distance on G or a new metric on M.

研究の動機と目的

• 有限グラフまたはリーマン多様体上でのディラック作用素 $D = d + d^*$ の非線形かつ等スペクトル的な変形を、ハミルトニアン力学を用いて開発すること。
• 変形された外微分 $d(t)$ によって定義されるコホモロジーが、幾何的変化にもかかわらず、$D$ のスペクトルを保存すること。
• 変形が計量、ポテンシャル $V(t) = b(t)^2$、およびディラック作用素 $C(t) = d(t) + d(t)^*$ の構造に与える影響を明らかにし、幾何的インフレーションを引き起こす。
• 時間に依存する $D(t)$ における線形および非線形波動方程式の挙動を解析し、McKean-Singerの公式 $\mathrm{str}(U(t)) = \chi(G)$ が成立することを示すこと。
• $L = D^2$ が不変である一方で、時間に依存する $D(t)$ が相対論的量子力学およびユニタリな時間発展に影響を与え、観測可能なスーパシンプソンの対称性が漸近的に破れる。

提案手法

• 変形はハミルトニアン系 $D' = [B, h'(D)]$ に従い、$B = d - d^* + \beta i b$ により $D(t)$ が等スペクトルのままであることを保証する。
• ユニタリな時間発展 $U(t)$ は $U' = BU$ を満たし、$D(t) = U(t)^* D U(t)$ となる。これによりディラック作用素が変化し、新たな外微分 $d(t)$ が誘導される。
• 新しいラプラシアンは $M(t) = C(t)^2 = (d(t) + d(t)^*)^2$ であり、ポテンシャルは $V(t) = b(t)^2$ で、$L = M(t) + V(t)$ が一定のまま変化する。
• コホモロジーの不変性は、フローに沿って閉形式およびコボルディアを明示的に変形することで証明され、$H^k(d(t)) \cong H^k(d)$ が成立する。
• スペクトル不変性とユニタリ発展のおかげで、McKean-Singerのスーパートレース公式 $\mathrm{str}(U(t)) = \chi(G)$ がすべての $t$ で成立する。
• 漸近的解析により、$D(t)$ は $b_+ = -b_-$ かつ $b_{\pm}^2 = L$ を満たすブロック対角形に近づき、線形波動解が各 $p$-形式部分空間を保存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ディラック作用素 $D = d + d^*$ を、スペクトルを保存するハミルトニアン系によってどのように変形できるか？
• RQ2 変形が、外微分 $d(t)$、計量、および対応するグラフまたは多様体のコホモロジーに与える影響は何か？
• RQ3 $D(t)$ と $L = D(t)^2$ が等スペクトルのままでも、観測可能なスーパシンプソンの対称性がなぜ消失するのか？
• RQ4 $D(t)$ が時間に依存するとき、非線形波動方程式 $u'' = -L u$ と時間に依存するバージョン $u'' = -L(t) u$ との違いは何か？
• RQ5 $D(t) \to \text{block-diagonal}$ かつ $b_\pm^2 = L$ となる漸近的挙動から生じる幾何的および力学的結果は何か？

主な発見

• 等スペクトル変形により、$D(t)$ のスペクトル、ラプラシアン $L = D(t)^2$、およびコホモロジー $H^k(d(t)) \cong H^k(d)$ が、幾何的変化にもかかわらず不変に保たれる。
• ポテンシャル $V(t) = b(t)^2$ は変化するが、$L = M(t) + V(t)$ は一定のままであり、$M(t) = C(t)^2$ は $d(t)$ における新しいラプラシアンである。
• ユニタリ発展 $U(t)$ は $U' = BU$ を満たし、McKean-Singerの公式 $\mathrm{str}(U(t)) = \chi(G)$ がすべての $t$ で成立し、スーパートレースの不変性が確認される。
• 観測可能なスーパシンプソンの対称性は破れる： $f$ と $D(t)f$ が同じ平面を張るが、$D(t)f$ とフェルミオン部分空間のなす角度は指数関数的に減少し、スーパーパartner は測定不能になる。
• $|t| \to \infty$ のとき、$D(t)$ は $b_+ = -b_-$ となるブロック対角形に近づき、波動方程式は $\cos(bt)u(0) + \sin(bt)b^{-1}u'(0)$ に簡略化され、各 $p$-形式部分空間が保存される。
• $G = K_2$ の場合、明示的な式により幾何的インフレーションの初期段階が速やかに現れ、$D$ のスケーリングにより膨張率を調整可能であることが示され、幾何的変化および次元の出現の様子が明らかになる。