[論文レビュー] Isotopy of Morin singularities

Kentaro Saji|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2015

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、微分同相型の局所写像の有限決定性を強化した $τ$-同相型という、より洗練された同値関係を導入する。これは $τ$-同値の上位関係であり、jet空間内での連続的経路を要件としている。等次元的モリン特異点の $τ$-同相型類を分類し、$n$-モリン特異点に対しては $n=4i$ のとき4類、$n\neq4i$ のとき2類であることが示され、$k$-モリン特異点（$k<n$）については $k$ が偶数のとき2類、奇数のとき1類である。

ABSTRACT

We define an equivalence relation called A-isotopy between finitely determined map-germs, which is a strengthened version of A-equivalence. We consider the number of A-isotopy classes of equidimensional Morin singularities, and some other well-known low-dimensional singularities. We also give an application to stable perturbations of simple equi-dimensional map-germs.

研究の動機と目的

• . 有限決定的局所写像のための $τ$-同相型を定義し、$τ$-同値よりも強い同値関係として研究すること。
• . 同次元的モリン特異点の $τ$-軌道内における $τ$-同相型類の数を特定すること。
• . 他の代表的な低次元特異点への分類の拡張。
• . 単純な同次元的局所写像の安定摂動への分類の応用。
• . モリン特異点の $τ$-同相型類の不変量と標準形の提供。

提案手法

• . 差分同相型の局所写像の $r$-ジェット空間内での連続的経路を用いて $τ$-同相型を定義し、方向を保つ微分同相型を要件とする。
• . $k$-モリン特異点の $(k+1)$-決定性を用い、有限ジェット空間内で作業する。
• . ノルムベクトル場 $\eta$ と方向微分 $\eta^k\lambda$ を用い、条件 $\eta^k\lambda(0)\neq0$ とランク条件により $k$-モリン特異点を特徴付ける。
• . ヤコビアン行列式 $\lambda$ のヘッセ行列式を分析し、特に $\Sigma^{2,0}$ 特異点の $τ$-同相型類を区別する。
• . $\mathcal{E}_2 / \langle x_1^2, x_2^2 \rangle$ と $\mathcal{E}_2 / \langle x_1^2 - x_2^2, x_1x_2 \rangle$ の商代数を用い、$\det \operatorname{Hess} \lambda$ の符号に基づいて場合を区別する。
• . $\det(d(\xi g_1), d(\xi g_2), d(\eta g_1), d(\eta g_2)) \neq 0$ を満たす基準を適用し、$\Sigma^{2,0}$ 特異点の $τ$-同相型を区別する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 . $n$-モリン特異点の $τ$-軌道内に存在する $τ$-同相型類はいくつあるか？
• RQ2 . $k$-モリン特異点の $τ$-同相型類の数は $k$ の偶奇性にどのように依存するか？
• RQ3 . $\Sigma^{2,0}$ 特異点の $τ$-同相型類を区別する不変量は何か？
• RQ4 . $τ$-同相型は、単純な同次元的局所写像の安定摂動を分類するために用いられるか？
• RQ5 . $\lambda$ のヘッセ行列式は、$τ$-同相型の区別にどのように寄与するか？

主な発見

• . $n$-モリン特異点に対しては、$n=4i$ のとき4つの $τ$-同相型類、$n\neq4i$ のとき2つの $τ$-同相型類がある。ここで $i\in\mathbb{N}$ である。
• . $k<n$ である $k$-モリン特異点に対しては、$k=2i$ のとき2つの $τ$-同相型類、$k\neq2i$ のとき1つの $τ$-同相型類がある。ここで $i\in\mathbb{N}$ である。
• . $\Sigma^{2,0}_{\text{hyp}}$ 特異点の $τ$-同相型は、$\det \operatorname{Hess}_{(\xi,\eta)} \lambda(0)$ の符号によって決定され、2つの類が存在する。
• . $\Sigma^{2,0}_{\text{elli}}$ 特異点の $τ$-同相型も、$\det \operatorname{Hess}_{(\xi,\eta)} \lambda(0)$ の符号によって決定され、4つの類が存在する。
• . マッピング次数は、$\Sigma^{2,0}$ 特異点の分類における不変量 $\varepsilon_2$ に対応する。