[論文レビュー] Iterative Particle Approximation for McKean-Vlasov SDEs with application to Multilevel Monte Carlo estimation

Łukasz Szpruch, Shuren Tan+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 27被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、条件付き独立性を実現する反復的粒子系を導入し、効率的なマルチレベルモンテカルロ（MLMC）推定を可能にする、 McKean-Vlasov SDE における反復的粒子系を提案する。反復スキームの弱収束を証明し、MLMC が状態依存関数に対する重み付きノルムにおける最適のオーダーの改善を達成するように、計算複雑性を 𝒪(ε⁻⁵) から 𝒪(ε⁻²|log ε|²) に低減することを示している。

ABSTRACT

The mean field limits of systems of interacting diffusions (also called stochastic interacting particle systems (SIPS)) have been intensively studied since McKean \cite{mckean1966class}. The interacting diffusions pave a way to probabilistic representations for many important nonlinear/nonlocal PDEs, but provide a great challenge for Monte Carlo simulations. This is due to the nonlinear dependence of the bias on the statistical error arising through the approximation of the law of the process. This and the fact that particles/diffusions are not independent render classical variance reduction techniques not directly applicable and consequently make simulations of interacting diffusions prohibitive. In this article, we provide an alternative iterative particle representation, inspired by the fixed point argument by Sznitman \cite{sznitman1991topics}. This new representation has the same mean field limit as the classical SIPS. However, unlike classical SIPS, it also allows decomposing the statistical error and the approximation bias. We develop a general framework to study integrability and regularity properties of the iterated particle system. Moreover, we establish its weak convergence to the McKean-Vlasov SDEs (MVSDEs). One of the immediate advantages of iterative particle system is that it can be combined with the Multilevel Monte Carlo (MLMC) approach for the simulation of MVSDEs. We proved that the MLMC approach reduces the computational complexity of calculating expectations by an order of magnitude. Another perspective on this work is that we analyse the error of nested Multilevel Monte Carlo estimators, which is of independent interest. Furthermore, we work with state dependent functionals, unlike scalar outputs which are common in literature on MLMC. The error analysis is carried out in uniform, and what seems to be new, weighted norms.

研究の動機と目的

• 粒子間の相互作用と独立性の欠如による McKean-Vlasov SDE のシミュレーションの高コストを緩和すること。
• 従来の MLMC が相互作用粒子系では失敗する問題を、独創的な反復的粒子表現の導入により克服すること。
• 一般条件下で反復的粒子系が McKean-Vlasov SDE に弱収束することを確立すること。
• 非線形 Fokker-Planck 方程式におけるスカラー出力にとどまらず、状態依存関数に対しても分散低減を可能にする MLMC の適用を可能にすること。
• 一様ノルムおよび重み付きノルムにおけるネストされた MLMC 評価器と誤差の分析を行い、新たな理論的ツールを提供すること。

提案手法

• Sznitman の固定点論法を模倣した反復的粒子系を構築し、粒子間の条件付き独立性を導入する。
• 連続補間を用いた時間離散化されたオイラースキームを用いて、McKean-Vlasov SDE を近似する。
• 反復的粒子系にマルチレベルモンテカルロ（MLMC）を適用し、条件付き独立性を活用して分散を低減する。
• 状態依存関数を扱うために、重み付きノルムと一様ノルムを誤差解析に用いる。
• 反復スキームおよび MLMC 評価器の誤差バウンドを導出し、標準的な正則性仮定の下での収束を証明する。
• 非予測的関数に対するネストされた MLMC 評価器を分析し、MLMC 理論を平均場 SDE に拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 McKean-Vlasov SDE に対して、条件付き独立性を保持し、効率的な MLMC を可能にする反復的粒子系を構築できるか？
• RQ2 反復的粒子系の McKean-Vlasov SDE への弱収束速度は何か？
• RQ3 反復的粒子系に MLMC を適用することで、従来の 𝒪(ε⁻⁵) スケーリングを下回る計算複雑性を達成できるか？
• RQ4 一様ノルムおよび重み付きノルムにおける状態依存関数の誤差はどのように振る舞うか？
• RQ5 McKean-Vlasov SDE の関数の期待値に対する提案された MLMC 評価器の計算複雑性は何か？

主な発見

• ドリフトおよび拡散係数に標準的な正則性条件が課せられれば、反復的粒子系は McKean-Vlasov SDE に弱収束する。
• 本手法により、従来は独立性の欠如により失敗していた相互作用粒子系への MLMC の適用が可能になった。
• MLMC 評価器は計算複雑性 𝒪(ε⁻²|log ε|²) を達成し、従来の粒子法における 𝒪(ε⁻⁵) からコストを低減した。
• 誤差解析は重み付きノルムを用いており、これは状態依存関数を扱う上で新規かつ不可欠である。
• 本フレームワークは、スカラー出力にとどまらず、一般の非予測的関数を扱えるため、平均場 SDE における MLMC の適用範囲を広げた。
• 本稿は、McKean-Vlasov SDE の文脈において、ネストされた MLMC 評価器の最初の厳密な誤差解析を確立した。