[論文レビュー] Iwasawa Main Conjecture for Rankin-Selberg $p$-adic $L$-functions: Non-Ordinary Case

Xin Wan|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 37被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、非通常の場合におけるIwasawa-Greenberg主予想の1つの可除性を証明し、重さ2のモジュラー形式とより高い重さの通常CM形式に付随する$p$-進$L$-関数が、対応するセレマー群の特徴的イデアルを含むことを示している。この結果は、従来の通常の場合への結果を非通常の設定へと拡張し、特異な楕円曲線に対するIwasawa主予想および精密なBirch-Swinnerton-Dyer公式の証明において中心的な役割を果たす。

ABSTRACT

In this paper we prove that the $p$-adic $L$-function that interpolates the Rankin-Selberg product of a general weight two modular form which is unramified and non-ordinary at $p$, and an ordinary CM form of higher weight contains the characteristic ideal of the corresponding Selmer group. This is one divisibility of the Iwasawa-Greenberg main conjecture for the $p$-adic $L$-function. This generalizes an earlier work of the author to the non-ordinary case. The result of this paper plays a crucial role in the proof of Iwasawa main conjecture and refined Birch-Swinnerton-Dyer formula for supersingular elliptic curves.

研究の動機と目的

• 非通常の場合における$p$-進$L$-関数のIwasawa-Greenberg主予想の1つの可除性を確立すること。
• 従来の通常の$p$-進$L$-関数に関する結果を、重さ2のモジュラー形式と通常CM形式を含む非通常設定へ一般化すること。
• 特異な楕円曲線に対するIwasawa主予想および精密なBirch-Swinnerton-Dyer公式の証明における重要な要素を提供すること。
• ランキン＝セルバーグ$L$-関数を補間する$p$-進$L$-関数が、関連するセレマー群の特徴的イデアルを含むことを示すこと。

提案手法

• 重さ2のモジュラー形式（$p$で非分岐かつ非通常）とより高い重さの通常CM形式に対して、ランキン＝セルバーグ法を用いて構成された$p$-進$L$-関数を利用する。
• Iwasawa理論の技法を適用し、$p$-進$L$-関数とセレマー群の特徴的イデアルとの関係を確立する。
• 特に補間性質と$p$-進解析的性質に注目した、非通常設定における$p$-進$L$-関数の理論を用いる。
• 通常CM形式の構造を活用し、重さ2のモジュラー形式が非通常であるにもかかわらず、$p$-進$L$-関数の振る舞いを制御する。
• 補間性とセレマー群の制御を通じて、$p$-進$L$-関数と特徴的イデアルの比較により可除性を確立する。
• 主な結果を達成するために、Euler系の理論と非通常状況における$p$-進$L$-関数の構造に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非通常の重さ2のモジュラー形式と通常CM形式のランキン＝セルバーグ積に付随する$p$-進$L$-関数は、対応するセレマー群の特徴的イデアルを含むか？
• RQ2 $p$-進$L$-関数に対するIwasawa主予想は、非通常の場合へと拡張可能か？
• RQ3 一方の因子が$p$で非通常で、他方が通常である場合、$p$-進$L$-関数の構造はどのように振る舞うか？
• RQ4 CM形式は非通常設定における$p$-進$L$-関数の制御においてどのような役割を果たすか？
• RQ5 この結果は、特異な楕円曲線に対する精密なBirch-Swinnerton-Dyer公式にどのように寄与するか？

主な発見

• 非通常の重さ2のモジュラー形式とより高い重さの通常CM形式のランキン＝セルバーグ$L$-関数を補間する$p$-進$L$-関数は、対応するセレマー群の特徴的イデアルを含む。
• この包含関係により、非通常の場合におけるIwasawa-Greenberg主予想の1つの可除性が確立される。
• この結果は、従来の通常の場合に限られていた以前の研究を一般化し、主予想の有効性を非通常の$p$-進$L$-関数へと拡張する。
• 証明は、$p$-進$L$-関数、セレマー群、および非通常状況下でのCM形式の特別な構造との相互作用に依存する。
• この研究は、Iwasawa主予想および特異な楕円曲線に対する精密なBirch-Swinnerton-Dyer公式の証明に重要な一歩を提供する。
• 技術的課題としての$p$での非通常性に対処するために、CM形式の通常性を活用して成功裏に処理している。