[論文レビュー] Iwasawa Main Conjecture for Supersingular Elliptic Curves and BSD conjecture

Xin Wan|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 52被引用数 31

ひとこと要約

本論文は、Eisenstein合同式を用いたU(3,1)上での新しい還元と、Beilinson-Flach要因の明示的相互法則を介して、奇素数 $p$ において $a_p = 0$ である上昇特異な楕円曲線に対するIwasawa主予想を証明する。主な結果として、無限個の非CM楕円曲線およびその二次拡大について、完全なBirch and Swinnerton-Dyer予想が成立し、非通常Iwasawa理論における長年の空白が解消される。

ABSTRACT

In this paper we prove the $\pm$-main conjecture of Iwasawa theory formulated by Kobayashi for elliptic curves with supersingular reduction at an odd prime $p$ such that $a_p=0$, using a key new observation that it can be reduced to another Iwasawa-Greenberg main conjecture, which is more accessible and proved here as a first step. Then we develop some generalized $\pm$ local theory and deduce the main conjecture. The argument uses in an essential way the recent study on explicit reciprocity law for Beilinson-Flach elements by Kings-Loeffler-Zerbes. We also prove as corollaries the $p$-part of the BSD formula at supersingular primes when the analytic rank is $0$ or $1$. The main result enables us to present in the Appendix a number of explicit infinite families of elliptic curves without complex multiplications for which we can now prove the full Birch-Swinnerton-Dyer conjecture. No such infinite families of curves without complex multiplication were known previously.

研究の動機と目的

• 奇素数 $p$ において $a_p = 0$ である上昇特異な楕円曲線のIwasawa理論におけるギャップを埋める。ここでは古典的 $p$-進 $L$-関数が有界でないため、問題が生じる。
• Eisenstein合同式を用いた $ {U}(3,1)$ 上の戦略により、上昇特異な状況におけるIwasawa主予想を通常状況に還元して確立する。
• 主予想と制御定理を用いて、上昇特異素数における解析的ランク 0 もしくは 1 の場合の BSD 公式の $p$-部を証明する。
• 完全なBSD予想を満たす非CM楕円曲線の明示的無限族を構成し、これまでに知られていた有限集合を拡張する。

提案手法

• Eisenstein合同式に基づく戦略を用いて、非通常Iwasawa主予想を通常Iwasawa理論に還元する。
• Kings-Loeffler-ZerbesによるBeilinson-Flach要因の明示的相互法則を適用し、$p$-進 $L$-関数とセレーマー群を関連付ける。
• PollackおよびKobayashiが導入した $\pm$-セレーマー群および $\pm$- $p$-進 $L$-関数を用いて、上昇特異状況を扱う。
• KatoおよびSkinner-UrbanのEuler系とEisenstein合同式に関する結果を用いて、主予想の一方の整除関係を確立する。
• 三重積 $p$-進 $L$-関数とFinisの結果を用いて、特定のBeilinson-Flach要因がIwasawa代数において単元であることを示す。
• 制御定理と周期比較を用いて、$p$-進 $L$-関数の周期とBSD公式におけるNéron周期を一致させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 奇素数 $p$ において $a_p = 0$ である上昇特異な楕円曲線に対して、Iwasawa主予想を確立できるか？
• RQ2 非CM楕円曲線の無限族に対して、完全なBirch and Swinnerton-Dyer予想を証明できるか？
• RQ3 Eisenstein合同式を用いて、非通常Iwasawa理論の問題を扱いやすい通常Iwasawa理論に還元できるか？
• RQ4 Beilinson-Flach要因の明示的相互法則は、上昇特異状況における $p$-進 $L$-関数とセレーマー群をどのように橋渡しできるか？
• RQ5 上昇特異素数における楕円曲線の二次拡大に対して、BSD公式の $p$-部が成り立つための条件は何か？

主な発見

• 奇素数 $p$ において $a_p = 0$ である上昇特異な楕円曲線に対して、Iwasawa主予想が証明された。これにより、$\pm$-双対セレーマー群の特性イデアルが $\pm$- $p$-進 $L$-関数によって生成されることが示された。
• 主予想を仮定すると、上昇特異素数における解析的ランク 0 または 1 の場合に、BSD公式の $p$-部が証明された。
• 完全なBSD予想が成り立つ非CM楕円曲線の明示的無限族が構成され、平方自由な素数の積による二次拡大も含む。
• この結果により、完全なBSD予想を満たす非CM楕円曲線の既知の集合が有限個から無限個に拡張され、46a1、69a1、77c1、114b1 などの曲線が含まれる。
• この手法により、$p$-進 $L$-関数の周期を制御でき、周期比較定理を用いてNéron周期と一致させることで、BSD公式の正当化が達成された。
• 証明は、非可換 $\mu$-不変量の消滅およびBeilinson-Flach要因がIwasawa代数において単元であることに依存しており、三重積 $p$-進 $L$-関数により確認された。