[論文レビュー] Joint universality for dependent $L$-functions

Łukasz Pańkowski|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2016

Analytic Number Theory ResearchMathematics参考文献 9被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、非線形かつ非一様なシフト $L(s + i\beta t^{a}\log^b t; \chi)$ の形をとるディリクレ $L$-関数の共同ユニバーサリティを確立する。任意のコンパクト集合上の非零解析関数の有限集合が、指数対 $(a_j, b_j)$ が相異なるかつ特定の算術的条件を満たす限り、このようなシフトによって同時に近似可能であることを証明する。この結果は、古典的なユニバーサリティを線形シフトを超えたものに拡張し、連続的および離散的設定の両方を含む。

ABSTRACT

We prove that, for arbitrary Dirichlet $L$-functions $L(s;χ_1),\ldots,L(s;χ_n)$ (including the case when $χ_j$ is equivalent to $χ_l$ for $j e k$), suitable shifts of type $L(s+iα_jt^{a_j}\log^{b_j}t;χ_j)$ can simultaneously approximate any given analytic functions on a simply connected compact subset of the right open half of the critical strip, provided the pairs $(a_j,b_j)$ are distinct and satisfy certain conditions. Moreover, we consider a discrete analogue of this problem where $t$ runs over the set of positive integers.

研究の動機と目的

• 線形シフトを超えて、$t^{a_j} \log^{b_j} t$ の形をとるより一般的な非線形かつ非一様なシフトへのディリクレ $L$-関数の古典的共同ユニバーサリティ定理の拡張を目的とする。
• 標準的な共同ユニバーサリティが関数的依存性により失敗する、従属または同値なディリクレ指標の状況に対処すること。
• 連続的および離散的設定の両方でユニバーサリティを確立し、$t$ が正の整数を走る場合も含むこと。
• Euler積を有する $L$-関数に適用可能な、一様分布 mod 1 および解析的近似技法に基づく一般枠組みを提供すること。
• 整数指数の場合の算術的障害を克服するため、補助的素数集合と修正されたシフト列を導入すること。

提案手法

• 一様分布 mod 1 と解析関数の近似を結びつける一般枠組み（補題 2.1 および補題 3.1）を用いる。
• 非線形関数 $\gamma_j(t) = \alpha_j t^{a_j} \log^{b_j} t$ に対して、シフトのユニバーサリティ原理を適用し、指数対 $(a_j, b_j)$ の相異なる性質を保証することで退化を避ける。
• 特に $a_j \in \mathbb{Z}$ かつ $b_j = 0$ の場合に、一様分布理論を用いて $\gamma_j(k)$ の mod 1 における一様分布を保証する。これに伴い、補助的素数集合 $\mathcal{A}_j$ および $\mathcal{P}_j$ を導入して無理数性条件を満たす。
• 特定の素数のオイラー因子を除去することで、修正された $L$-関数 $f_j^*(s)$ を構成し、シフト列が mod 1 で一様分布するように保証する。
• コーシーの積分公式およびカールソンの定理を用いて誤差項を制御し、コンパクト集合上で一様近似を保証する。
• スケーリング係数 $q^*$ を用いて連続的状況を離散的状況に適応し、条件を満たす良い整数 $k \in [2,N]$ の個数が $cN/q^*$ 以上であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形シフトに代えて、非線形シフト $t^{a} \log^b t$ の下で、ディリクレ $L$-関数の共同ユニバーサリティを確立できるか？
• RQ2 指数対 $(a_j, b_j)$ にどのような条件を課すと、シフト $\gamma_j(t) = \alpha_j t^{a_j} \log^{b_j} t$ が共同ユニバーサリティを示すようになるか？
• RQ3 $L$-関数が従属している（例えば同値な指標に付随している）場合、または $a_j \in \mathbb{Z}$ かつ $b_j = 0$ の場合、どのように処理すればよいか？
• RQ4 $t$ が正の整数を走る離 discrete 設定でも、共同ユニバーサリティを達成できるか？
• RQ5 良いシフトの密度の観点から、近似を有効にできるか。このようなシフトの下界密度は何か？

主な発見

• コンパクト集合 $K$ において、$\{s \in \mathbb{C} : 1/2 < \operatorname{Re}(s) < 1\}$ に含まれる連結な補集合を持つ任意の非零解析関数の有限集合に対して、$L(s + i\alpha_j t^{a_j} \log^{b_j} t; \chi_j)$ のシフトが、それらを一様に同時に近似可能である。
• 指数対 $(a_j, b_j)$ が相異なること、かつ $a_j \notin \mathbb{Z}$ または $b_j \neq 0$ であるか、$a_j \in \mathbb{Z}$ かつ $b_j = 0$ の場合は、関連する指数和が mod 1 で無理数であるようにシフトパラメータ $\alpha_j$ を選べば、共同ユニバーサリティが成立する。
• $a_j \in \mathbb{Z}$ かつ $b_j = 0$ の場合、最小の素数集合 $\mathcal{P}_j$ とスケーリング係数 $q^*$ を導入して、シフト列が mod 1 で一様分布するように保証する。
• $[2,N]$ 内の整数 $k$ のうち、近似が成立するものの個数は、$cN/q^*$ 以上である。ここで $c > 0$ は絶対定数であり、$q^*$ は指数の算術的構造に依存する。
• 結果は離散的設定へも拡張可能である。$t$ が $\mathbb{N}$ を走るとき、同じ近似性質が成り立ち、良いシフトの正の下界密度が得られる。
• 証明は、コーシーの積分公式およびカールソンの定理を用いた解析的技法に依拠しており、誤差項の制御と近似の収束を保証する。