[論文レビュー] $k$-Uniform states and quantum information masking

Fei Shi, Mao-Sheng Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 42被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、線形符号、直交配列、代数幾何符号を用いた$k$-一様な量子状態の一般構成を提示し、$d \geq 4k-2$（素数べき）および$N \geq 2k$のとき、また$2k \leq N \leq d+1$のとき$d \geq 2k-1$のとき、$k$-一様状態の存在を証明している。さらに、$k$-一様な量子情報マスキングを導入し、$k$-一様状態と量子エラー訂正符号が、任意の$k$個の部分系から情報が隠される強力なマスキングプロトコルを実現できることを示している。

ABSTRACT

A pure state of $N$ parties with local dimension $d$ is called a $k$-uniform state if all the reductions to $k$ parties are maximally mixed. Based on the connections among $k$-uniform states, orthogonal arrays and linear codes, we give general constructions for $k$-uniform states. We show that when $d\geq 4k-2$ (resp. $d\geq 2k-1$) is a prime power, there exists a $k$-uniform state for any $N\geq 2k$ (resp. $2k\leq N\leq d+1$). Specially, we give the existence of $4,5$-uniform states for almost every $N$-qudits. Further, we generalize the concept of quantum information masking in bipartite systems given by [Modi \emph{et al.} {Phys. Rev. Lett. extbf{120}, 230501 (2018)}] to $k$-uniform quantum information masking in multipartite systems, and we show that $k$-uniform states and quantum error-correcting codes can be used for $k$-uniform quantum information masking.

研究の動機と目的

• 直交配列と線形符号との関係を活用して、$k \geq 4$の$k$-一様状態の一般的構成を確立すること。
• 特に$k \geq 4$の場合に、多粒子クイッド系において$k$-一様状態の存在条件を解明する長年の未解決問題を解決すること。
• 多粒子系における量子情報マスキングを$k$-一様マスキングに一般化し、任意の$k$個の部分系から情報が隠されるようにすること。
• $k$-一様状態と量子エラー訂正符号が、強力なマスキングプロトコルを実装できることを示すこと。

提案手法

• 有限体上の線形符号を用いて、$k$-一様状態と直交配列（OAs）の等価性を活用し、状態を構成する。
• $d$が素数べきの場合に、多くの有理点を持つ曲線と種数制約を用いて、代数幾何符号を応用し、$k$-一様状態を構成する。
• 線形符号の双対性と最小距離の性質を用いて、すべての$k$-粒子還元状態が最大混合状態であることを保証する。
• 補題15を用いて、基底状態が正規直交系である場合に、状態のシュミット分解が最大混合状態の縮約密度行列を与えることを検証する。
• 補題16を用いて、$k$-一様状態と量子エラー訂正符号（QECC）を結びつけ、$k$-一様部分空間が$((N,K,k+1))_d$ QECCに対応することを示す。
• 理論的上限（例：レインズの上限）と明示的構成（例：自己双対符号、AME表）を組み合わせ、$N$と$d$の両方の範囲で存在を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $k \geq 4$のとき、局所次元$d$の$N$クイッド系において、$k$-一様状態が存在する条件は何か？
• RQ2 $k$-一様状態は線形符号と直交配列を用いて体系的に構成可能か？
• RQ3 多粒子系において、量子情報マスキングを$k$-一様マスキングに一般化可能か。特に、任意の$k$個の部分系から情報が隠されるようにできるか？
• RQ4 $k$-一様状態と量子エラー訂正符号の間には、強力なマスキングプロトコルを実現する上でどのような関係があるか？

主な発見

• $d \geq 4k-2$ かつ $d$ が素数べきのとき、すべての$N \geq 2k$に対して$k$-一様状態が存在し、広範な存在条件が得られた。
• $d \geq 2k-1$ かつ $d$ が素数べきのとき、$2k \leq N \leq d+1$ の範囲でも$k$-一様状態が存在し、既知の存在範囲が拡張された。
• 本稿では、$d$ が素数べきのとき、ほぼすべての$N$-クイッド系に対して$4$-および$5$-一様状態の存在を証明した。
• 代数幾何符号を用いて、$d \geq 18$ で素数べきでない場合および$N \geq 18$ の場合の$5$-一様状態の明示的構成が提供された。
• 双対性と符号の連結を用いて、すべての$d \geq 2$ および$N \geq 18$ に対して$(\mathbb{C}^d)^{\otimes N}$内に$5$-一様状態が存在することを確認した。
• 本稿では、$k$-一様状態と$((N,K,k+1))_d$ 量子エラー訂正符号が等価であることを確立し、1クイッド状態の$k$-一様マスキングを可能にした。