[論文レビュー] Katz type p-adic L-functions for primes p non-split in the CM field

Fabrizio Andreatta, Adrian Iovita|arXiv (Cornell University)|May 2, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、p が CM 領域 K で分解しない（非分解）場合、すなわち p が K で不分岐または不分岐である場合に、楕円モジュラー形式およびエイゼンスタイン級数に対して、Katz 型の p-進 L 関数を構成する。これは、従来の研究が分解する p に限られていたのを拡張したものである。CM 活動によるベクトルバンドルへの作用と、Gauss-Manin 接続の p-進反復を用いて、特殊値を補間する p-進 L 関数を定義し、非分解の場合の p-進 Gross-Zagier 公式および Knonecker 限界公式を証明する。

ABSTRACT

For every triple F,K,p where F is a classical elliptic eigenform, K is a quadratic imaginary field and p> 3 is a prime integer which is not split in K, we attach a p-adic L function which interpolates the algebraic parts of the special values of the complex L-functions of F twisted by certain algebraic Hecke characters of K. This construction extends a classical construction of N. Katz, for F an Eisenstein series and of Bertolini-Darmon-Prasana, for F a cuspform, when p is split in K. Moreover we prove a Kronecker limit formula, respectively p-adic Gross-Zagier formulae for our newly defined p-adic L-functions.

研究の動機と目的

• CM 領域 K における素数 p が分解しない場合（不分岐または不分岐）に、古典的 Katz p-進 L 関数の構成を拡張すること。
• p-冪の導手を持つ twisted L 関数の特殊値を補間する、cusp 形式およびエイゼンスタイン級数の 1 変数および 2 変数 p-進 L 関数を定義すること。
• 非分解設定におけるこれらの新しい p-進 L 関数に対して、p-進 Gross-Zagier 公式および Knonecker 限界公式を確立すること。
• 不分岐／不分岐の場合に単位根分解が存在しない問題を、ベクトルバンドル上の CM 活動を用いて Hodge 濃度の分解を定義することで克服すること。
• 通常型でない設定においても、Gauss-Manin 接続と p-除去作用素を用いた p-進補間法を一般化すること。

提案手法

• p-進反復の Gauss-Manin 接続 $\nabla_k$ を用いて、モジュラー曲線 $\mathcal{X}_1(N)_{b(p,r)}$ 上に p-進モジュラー形式の層 $\mathbb{W}_k$ を定義する。
• モジュラー形式 $g$ に対して p-進反復接続 $\nabla^\nu(g)$ を構成し、重みの制約と係数の p-進収束により収束を保証する。
• CM 点における $\mathbb{W}_{k+2\nu}$ の特殊化に、$1 + p\mathcal{O}_c$ の CM 活動を用いて、Hodge 濃度の分解 $\Psi_{x_0}$ を定義し、単位根分解に代わる。
• Hecke 特性 $\chi^{-1}$ による重み付けと、標準的微分形式 $\Omega_{\rm can}$ とのペアリングを用いて、CM 点 $\mathfrak{a} \ast x_0$ における $\nabla^\nu(F^{[p]})$ の評価により p-進 L 関数を定義する。
• 通常型でない形に対処するため、p-除去作用素を適用し、通常型の分解が存在しない状況でも p-進反復の収束を保証する。
• p-進補間性を証明する。具体的には、$p \geq 5$ かつ $n \geq 2$ のとき、導手 $p^n$ の特徴 $\chi$ に対して、p-進 L 関数が $L(F, \chi, 0)$ の代数的部品と一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p が CM 領域 K で不分岐または不分岐である場合に、cusp 形式またはエイゼンスタイン級数 $F$ と $K$ の Hecke 特徴 $\chi$ に対して、$L(F, \chi, 0)$ の代数的部品を補間する p-進 L 関数を構成できるか？
• RQ2 単位根分解が利用できない非分解ケースにおいて、特殊値の古典的補間がどのように拡張可能か？
• RQ3 非分解設定におけるこれらの新しい p-進 L 関数に対して、p-進 Gross-Zagier 公式はどのように記述されるか？
• RQ4 不分岐または不分岐設定における p-進 L 関数に対して、Kronecker 限界公式を確立できるか？
• RQ5 Gauss-Manin 接続とベクトルバンドル構造を用いて、通常型または単位根分解に依存しない p-進 L 関数をどのように定義できるか？

主な発見

• 著者らは、$p \geq 5$ かつ $n \geq 2$ のとき、cusp 形式およびエイゼンスタイン級数の 1 変数および 2 変数 p-進 L 関数を構成し、導手 $p^n$ の Hecke 特徴 $\chi$ に対して $L(F, \chi, 0)$ の代数的部品を補間する。
• p が K で不分岐または不分岐である場合、p-進 L 関数は、$1 + p\mathcal{O}_c$ の CM 活動によって誘導される分解 $\Psi_{x_0}$ を用いて、CM 点における $\nabla^\nu(F^{[p]})$ の評価により定義される。
• p-進 L 関数は補間性を満たす：$L_p(F, \chi^{-1}) = \sum_{\mathfrak{a} \in \operatorname{Pic}(\mathcal{O}_c)} \chi^{-1}(\mathfrak{a}) \cdot \Psi_{\mathfrak{a} \ast x_0}(\nabla^\nu(F^{[p]}))|_{\mathfrak{a} \ast x_0}(\mathfrak{a} \ast \Omega_{\rm can})$。
• 非分解設定において、新しい p-進 L 関数に対して p-進 Gross-Zagier 公式が確立され、p-進 L 関数の微分が非分解状況における Heegner 点の高さと関係づけられる。
• p-進 L 関数に対して Knonecker 限界公式が証明され、p-進 L 関数の定数項が CM 点の p-進対数関数と関係づけられる。
• 単位根分解を避けるために、CM 楕円曲線の自己準同型に関するベクトルバンドル形式の関手的性質を用いることで、不分岐および不分岐の場合にこの方法を適用可能にする。