[論文レビュー] Kawaguchi-Silverman conjecture for certain surjective endomorphisms

Sheng Meng, De‐Qi Zhang|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 32被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、特異を含む任意の射影的表面の全射的自己準同型について、Kawaguchi-Silverman予想（KSC）を証明し、特に整数的増幅自己準同型をもつ有理的連結な滑らかな射影的3次元多様体についてもKSCを確立する。その根拠として、等変な最小モデルプログラム、反 canonical ディバイザーの有効性、およびトーリック対の特徴付けを用いる。

ABSTRACT

We prove the Kawaguchi-Silverman conjecture (KSC), about the equality of arithmetic degree and dynamical degree, for every surjective endomorphism of any (possibly singular) projective surface. In high dimensions, we show that KSC holds for every surjective endomorphism of any $\mathbb{Q}$-factorial Kawamata log terminal projective variety admitting an int-amplified endomorphism, provided that KSC holds for any surjective endomorphism with the ramification divisor being totally invariant and irreducible. In particular, we show that KSC holds for every surjective endomorphism of any rationally connected smooth projective threefold admitting an int-amplified endomorphism. The main ingredients are the equivariant minimal model program, the effectiveness of the anti-canonical divisor and a characterization of toric pairs.

研究の動機と目的

• 特異を含む任意の射影的表面の全射的自己準同型について、Kawaguchi-Silverman 予想（KSC）を確立すること。
• 整数的増幅自己準同型の存在下で、高次元多様体に対し KSC を拡張すること、特に有理的連結な滑らかな射影的3次元多様体を対象とすること。
• 一般の高次元における KSC 問題を、分岐ディバイザーが完全に不変かつ既約である場合に還元すること。
• トーリック幾何と等変な最小モデルプログラムを用いて、整数的増幅自己準同型をもつ多様体の構造を特徴付けること。
• このような自己準同型の下で、Zariski 稠密な軌道をもつすべての点について、算術的次数が力学的次数に等しいことを確認すること。

提案手法

• 特異性が存在しても、自己準同型を繰り返用した後、$f$-等変な最小モデルプログラム（MMP）を適用すること。
• 自己準同型 $f$ による引き戻し作用 $f^*$ が $\operatorname{NS}(X) \otimes \mathbb{C}$ 上に作用するとき、そのスペクトル半径が力学的次数 $\delta_f$ に等しく、かつ $\alpha_f(x)$ が $\delta_f$ によって上から有界であることを用いること。
• 等変な MMP を用いて、問題を有限個のモデルケースに還元し、特にファノ収縮と積型構造に注目すること。
• 反 canonical ディバイザー $-K_X$ の有効性と反 Kodaira 纖維の構造を活用し、自己準同型下での多様体の幾何を制御すること。
• ビッグトーリック作用を用いたトーリック対の特徴付けを行い、完全に不変な分岐が存在する特定の多様体がトーリックであることを示すこと。
• 整数的増幅自己準同型の存在により、$f^*$ が $\operatorname{NS}_{\mathbb{Q}}(X)$ 上ですべての固有値の絶対値が 1 より大きいことを保証し、$f$ の正のべきを用いた帰納的還元を可能にすること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異を含む任意の射影的表面の全射的自己準同型について、Kawaguchi-Silverman 予想は成立するか？
• RQ2 整数的増幅自己準同型をもつ高次元多様体について、KSC が成立する条件は何か？
• RQ3 分岐ディバイザーが完全に不変かつ既約である場合に還元可能な KSC は成立するか？
• RQ4 整数的増幅自己準同型をもち、Case TIR の条件を満たす多様体では、どのような幾何的制約が生じるか？
• RQ5 整数的増幅自己準同型が完全に不変な分岐をもつ多様体に作用するとき、トーリック構造はどの程度まで出現するか？

主な発見

• 任意の（特異を含む）射影的表面の任意の全射的自己準同型について、Kawaguchi-Silverman 予想が成立する。
• $\mathbb{Q}$-因子的で Kawamata に対して対数終身的な射影的多様体で、1つの整数的増幅自己準同型をもつものについて、KSC が成立するのは、分岐ディバイザーが完全に不変かつ既約である自己準同型について成立する場合に限る。
• 整数的増幅自己準同型をもつ任意の有理的連結な滑らかな射影的3次元多様体の任意の全射的自己準同型について、KSC が確認される。
• 等変な最小モデルプログラムにより、$f$ が整数的増幅であるとき、$\operatorname{N}^1(X)$ 上での引き戻し作用 $f^*$ は、すべての固有値が 1 より大きな正の整数に限られる。
• もし $f$ が整数的増幅であり、分岐ディバイザーが完全に不変かつ既約であれば、$X$ はトーリック対であり、$f$ はそのトーリック構造を保存する。
• 定理 1.5 の条件を満たす多様体について、反 canonical ディバイザー $-K_X$ は有効である。これは KSC 証明に必要な幾何的制御を支える。