[論文レビュー] Kind of proofs of Ramanujan-like series

Jesús Guillera|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2012

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ひとこと要約

本稿は、$1//pi$ および $1//pi^2$ のラマヌジャン類似級数の証明タイプを分類・分析し、新たな超幾何変換を導入し、$1//pi^2$ 級数における代数的値の証明に不可欠なモジュラー型関係を提起する。高速収束性を示す非有理数 $z$-値（$z = -27/ phi^3$）を有する新しい $1/ pi^2$ 級数を提示し、PSLQに基づく整数関係を用いて特殊関数およびL関数と結びつける。

ABSTRACT

We make a summary of the different types of proofs adding some new ideas. In addition we conjecture some relations which could be necessary in "modular type proofs" (not still found) of the Ramanujan-like series for 1/π^2.

研究の動機と目的

• Ramanujan型 $1/\pi$ および $1/\pi^2$ 級数の既知の証明技法を体系化・拡張すること。
• $1/\pi^2$ 級数における非有理数 $z$-値の証明に不可欠な、欠落しているモジュラー型構造を同定すること。
• 超幾何変換および解析接続が、$1/\pi^2$ の新しい級数を導出する上で果たす役割を調査すること。
• 整数関係アルゴリズムを用いて、予想される級数と特殊関数およびL関数の特殊値との関係を調査すること。
• 超合同性パターンにインspiredされた、発散級数を収束する留数の和として解釈するフレームワークを提供すること。

提案手法

• $q$-パrametrization を用いた超幾何級数およびモジュラー関数の利用により、$z$、$a(z)$、$b(z)$ を $\tau$ の関数として $q = e^{-\pi\tau}$ で表現する。
• 七次、双対性、三回目など、さまざまな次数のモジュラー方程式を適用し、Ramanujan型級数における $z$-値の代数的関係を導出する。
• $_{2}F_{1}$ および $_{5}F_{4}$ を含む超幾何変換を用いて、異なる級数形を関連づけ、級数タイプ間の変換を可能にする。
• Zudilinの翻訳法を用い、既知の級数を $\tau_2/\tau_1$ の有理数比を保つ新しい級数に変換する。
• PSLQアルゴリズムを用いて、超幾何関数および $1/\pi^2$ の特殊値間の整数関係を検出し、予想される恒等式を導出する。
• 解析接続および反射公式 $\cos(\pi s)$ を用いて、発散級数を留数の収束和として解釈し、ゼータ関数およびL関数と結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非有理数 $z$-値を有するRamanujan類似 $1/\pi^2$ 級数の厳密な証明を可能にするために、どのようなモジュラー型構造が欠落しているのか？
• RQ2 超幾何変換を体系的に用いて、$1/\pi^2$ の新しいRamanujan型級数を生成する方法は何か？
• RQ3 関数的関係および予想される恒等式（例：Conj. 3.2, Conj. 3.3）は、$1/\pi^2$ 級数における代数的値を説明する上で果たす役割は何か？
• RQ4 非有理数 $z$ を有する発散級数を、収束する留数の和として解釈できるか？ また、それらは $\zeta(3)$ や $L_5(3)$ のような既知の特殊値をもたらすか？
• RQ5 非有理数 $z = -27/\phi^3$ は $1/\pi^2$ 級数の文脈でどのような意味を持ち、モジュラー形式およびL関数とどのように関係するか？

主な発見

• 非有理数 $z = -27/\phi^3$ を有する新しい予想される $1/\pi^2$ 級数が提起され、$3/\pi^2$ に高速収束する。ここで $\phi = \left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^5$ である。
• $z$-値の最小多項式は $P(z) = z^2 + 36828z - 729$ であり、もう一つの根 $z = (-3/\phi)^3$ は第二の級数に対応すると予想される。
• PSLQを用いて、$\phi$ を含む係数を有する $36/\pi^2$ の新しい予想される級数が導出され、モザイク超合同性パターンを満たす。
• 発散級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \cdots$ は、留数の収束和として解釈され、$95232\zeta(5)$ を与える。虚部 $-160\pi^5 i$ は $\cos(\pi s)$ の含むことによって消える。
• 逆級数の和は $\frac{1125}{4}\sqrt{5}L_5(3) - 448\zeta(3)$ に等しいと予想され、高速収束性により $L_5(3)$ の高精度計算が可能になる。
• 本稿は、未発見のモジュラー方程式および関数的関係（例：Conj. 3.2, Conj. 3.3）が、$1/\pi^2$ 級数における代数的値を統一的かつ説明可能にすることを予想する。