[論文レビュー] Kolmogorov Equations and Weak Order Analysis for SPDES with Nonlinear Diffusion Coefficient

Charles-Édouard Bréhier, Arnaud Debussche|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 34被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、非線形拡散係数を有する非アフィン型のスパノスパティオスタティスティカル微分方程式（SPDE）に関連するコルモゴロフ方程式の解に対する新たな正則性推定を、独創的な離散二重確率積分表現を用いて確立する。主な貢献は、弱収束解析を非アフィン型ノイズへ拡張し、係数に関する一般な仮定の下で、陰的エイラースキームの収束速度が $\Delta t^{1/2 - \kappa}$ に達することを示したことである。

ABSTRACT

We provide new regularity results for the solutions of the Kolmogorov equation associated to a SPDE with nonlinear diffusion coefficients and a Burgers type nonlinearity. This generalizes previous results in the simpler cases of additive or affine noise. The basic tool is a discrete version of a two sided stochastic integral which allows a new formulation for the derivatives of these solutions. We show that this can be used to generalize the weak order analysis performed in [16]. The tools we develop are very general and can be used to study many other examples of applications.

研究の動機と目的

• SPDEの数値スキームの弱収束解析を、加法的またはアフィン型ノイズのケースを超えて拡張すること。
• 無限次元設定における遷移半群およびコルモゴロフ方程式の解に関する新たな正則性推定を確立すること。
• コルモゴロフ解の導関数を分析するための一般枠組みを、離散二重確率積分を用いて構築すること。
• 先行研究（例：[20]）における弱収束速度結果を、非線形拡散係数を有するSPDEへ一般化すること。
• 非線形性および乗法的ノイズを有する広範なSPDEクラスに適用可能な基盤を提供すること。

提案手法

• コルモゴロフ解の導関数を再表現可能とするため、二重確率積分の離散版を導入し、新たな正則性推定を可能にする。
• 遷移半群の構造とマルヤヴィン微積分を用いて、コルモゴロフ方程式の解の導関数を制御する。
• SPDEの弱表現と導関数過程の時間発展に基づく摂動論法を適用する。
• 半群性質と時間離散化されたダイナミクスを用いて、解のマルヤヴィン微分に関する事前推定を導出する。
• 補間とリゾルベント推定を用いて、$L^q$-空間における導関数過程のモーメントに上限を設定する。
• 離散二重確率積分を用いて、弱収束解析における誤差項、特に展開の三階項を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SPDEの数値スキームの弱収束解析を、加法的またはアフィン型ノイズのケースを超えて、非線形拡散係数を有する場合へ拡張可能か？
• RQ2 非線形拡散係数を有する無限次元設定におけるコルモゴロフ方程式の解に対して、どのような正則性特性を確立できるか？
• RQ3 離散二重確率積分表現を用いて、コルモゴロフ方程式の解の導関数をどのように表現・制御できるか？
• RQ4 このようなSPDEに対して、陰的エイラースキームの弱収束において達成可能な収束速度は何か？
• RQ5 本研究で開発した手法は、非線形性および乗法的ノイズを有する他のSPDEへどの程度一般化可能か？

主な発見

• 本稿は、非線形拡散係数を有するSPDEに関連するコルモゴロフ方程式の解に対する新たな正則性推定を確立し、加法的またはアフィン型ノイズのケースを超えて結果を拡張した。
• 離散二重確率積分表現により、コルモゴロフ解の導関数の新たな表現が可能となり、誤差解析において中心的な役割を果たす。
• 適切な滑らかさおよび有界性の仮定の下で、非線形拡散係数を有するSPDEに陰的エイラースキームを適用した際、収束速度が $\Delta t^{1/2 - \kappa}$ に達することが得られた。
• 主要推定（補題6.1）は、初期データと時間刻みの関数として、解のマルヤヴィン微分の $L^q$-ノルムを制御し、因子 $\Delta t^{1/2 - \kappa}$ を含む。
• 誤差を四つの成分（$a_k$, $b_k$, $c_k$, $d_k$）に細かく分解し、補間とリゾルベント推定を用いてそれぞれの成分を有界化する。
• 最終的な誤差の上限には、$\int_0^T (1 + (T-t)^{-(1 - \kappa)}) dt$ の形の項が含まれるが、$\kappa < 1$ の場合にこの積分は有限であり、収束速度が適切に定義されることを保証する。