[論文レビュー] Koszul duality for locally constant factorization algebras

Takuo Matsuoka|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、対称モノイド的安定∞-圏における局所定数因子化代数に対して、完全性に基づくアプローチを導入することで、Siftedコロイドの制限を回避する Koszul双対性枠組みを確立する。主な貢献は、E_n-代数に完全性仮定を課した下で、コンパクト台付き因子化ホモロジーを介した因子化代数とその Koszul双対コモノイドの Verdier型同値である。

ABSTRACT

Generalising Jacob Lurie's idea on the relation between the Verdier duality and the iterated loop space theory, we study the Koszul duality for locally constant factorisation algebras. We formulate an analogue of Lurie's "nonabelian Poincare duality" theorem (which is closely related to earlier results of Graeme Segal, of Dusa McDuff, and of Paolo Salvatore) in a symmetric monoidal stable infinity category carefully, using John Francis' notion of excision. Its proof depends on our earlier study of the Koszul duality for E_n-algebras. As a consequence, we obtain a Verdier type equivalence for factorisation algebras by a Koszul duality construction.

研究の動機と目的

• Lurieの非アーベル Poincaré双対性を因子化代数の Koszul双対性枠組みへ拡張すること。
• モノイド的演算がSiftedホモトピー極限を保存しない場合に発生する因子化ホモロジーにおける技術的障害を克服すること。
• 完全なフィルトレーション付き設定における因子化代数とその Koszul双対コモノイドの Verdier型双対性同値を確立すること。
• 切除とコンパクト台付きホモロジーを用いて、局所 E_n-代数から多様体上のグローバル因子化代数へ双対性を一般化すること。
• フィルトレーション構造を用いて、非安定な文脈におけるトポロジカルチラルホモロジーのホモトピー的基盤を提供すること。

提案手法

• ジョン・フランシスの切除の概念を用い、開被覆下での因子化代数の定義と挙動を定義・分析する。
• コンパクト台付き因子化ホモロジーを関手として導入し、各開部分多様体 U に対してホモロジー ∫_U^c A を割り当て、前コモノイドを形成する。
• 文献[12]で開発された完全なフィルトレーション付き E_n-代数の理論を適用し、完全性のもとで Koszul双対性が良好に働くことを活用する。
• 余代数的フィルトレーション付き A-加群に対して、自然な写像 K⊗_A(L□_C X) → (K⊗_A L)□_C X が同値であることを示し、フィルトレーション付き設定における Poincaré双対性型同型を得る。
• dg リー代数の Chevalley–Eilenberg コホモロジー複体を重要な例として取り上げ、対称モノイド構造を保存するフィルトレーション構造へ refined する。
• 多様体 M 上の局所定数 dg リー代数のフィルトレーション付き Chevalley–Eilenberg コホモロジー複体 F_*C_•(𝔤) が切除を満たすことを示し、グローバル双対性を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 E_n-代数の Koszul双対性は、安定でない設定において多様体上の因子化代数へ一般化可能か？
• RQ2 モノイド的演算が Sifted ホモトピー極限を保存しない場合、因子化ホモロジーでその障害をどのように克服できるか？
• RQ3 コンパクト台付き因子化ホモロジーが因子化コモノイドをもたらす条件は何か？
• RQ4 非安定的・フィルター付き文脈において、因子化代数とその Koszul双対物との間で Verdier 双対性同値が成立する条件は何か？
• RQ5 フィルター付き Chevalley–Eilenberg 解析を用いて、dg リー代数の層へ双対性枠組みを応用可能か？

主な発見

• 多様体 M 上の局所定数因子化代数 A のコンパクト台付き因子化ホモロジー ∫_U^c A は、完全性条件のもとで切除を満たす前コモノイドを定義する。
• 余代数的フィルトレーション付き A-加群に対して、自然な写像 K⊗_A(L□_C X) → (K⊗_A L)□_C X が同値であるため、フィルトレーション付き設定で Poincaré 双対性が成立する。
• 多様体 M 上の局所定数 dg リー代数のフィルトレーション付き Chevalley–Eilenberg コホモロジー複体 F_*C_•(𝔤) はフィルトレーション付き因子化代数であり、切除を満たす。
• 構成 F_*C_•(𝔤) は、その双対が Koszul双対のコンパクト台付きホモロジーと同型となる負のフィルトレーション付き dg 因子化代数をもたらす。
• コンパクト台付きホモロジーを介して、完全なフィルトレーション付き因子化代数の ∞-圏とその Koszul 双対コモノイドの間で Verdier 型同値が確立される。
• 理論は、特性 0 の体上の dg リー代数といった自然な例に適用可能であり、フィルトレーション付き Chevalley–Eilenberg コホモロジー複体は対称モノイド構造を保存し、必要な双対性性質を満たす。