[論文レビュー] L^2-Betti Numbers of Discrete Measured Groupoids

Roman Sauer|ArXiv.org|Dec 22, 2003

Advanced Operator Algebra Research参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、von Neumann代数上のLückの次元理論を用いて、離散的測度付き群ガロアに対してホモロジー代数的定義によるL²-Betti数を導入する。可算群GのL²-Betti数が、Gの自由な測度保持作用から生じる軌道同値関係Rのそれと一致することを確立し、軌道同値性におけるL²-Betti数の不変性について、Gaboriauの幾何的構成に依存しない新しい代数的証明を提供する。

ABSTRACT

There are notions of L^2-Betti numbers for discrete groups (Cheeger-Gromov, Lueck), for type II_1-factors (recent work of Connes-Shlyakhtenko) and for countable standard equivalence relations (Gaboriau). Whereas the first two are algebraically defined using Lueck's dimension theory,Gaboriau's definition of the latter is inspired by the work of Cheeger and Gromov. In this article we give a definition of L^2-Betti numbers of discrete measured groupoids that is based on Lueck's dimension theory, thereby encompassing the cases of groups,equivalence relations and holonomy groupoids with an invariant measure for a complete transversal. We show that with our definition, like with Gaboriau's,the L^2-Betti numbers of a countable group G coincide with the L^2-Betti numbers of the orbit equivalence relation of a free action of G on a probability space. This yields a new proof of the fact the L^2-Betti numbers of groups with orbit equivalent actions coincide.

研究の動機と目的

• 離散群、可算標準同値関係、不変測度を備えたホロノミー群ガロアの間でL²-Betti数の定義を統一すること。
• von Neumann代数の次元理論を用いて、Lückの代数的枠組みを離散的測度付き群ガロアの設定に拡張すること。
• 群作用とそれに対応する軌道同値関係との間のホモロジー代数的関係を確立すること。
• Gaboriauの幾何的構成に依存せず、弱軌道同値性におけるL²-Betti数の不変性について独立した代数的証明を提供すること。
• 群ガロア的技法を用いて、II₁因子のL²-Betti数とそれらに関連する同値関係のL²-Betti数との関係を調査すること。

提案手法

• 群ガロア $\underline{G}$ のL²-Betti数を、$b^{(2)}_n(\underline{G}) = \dim_{\mathcal{N}(\underline{G})} \left( \operatorname{Tor}_n^{\mathbb{C}\underline{G}} (\mathcal{N}(\underline{G}), L^\infty(\underline{G}^0)) \right)$ として定義し、群ガロアvon Neumann代数上のモジュールに対してLückの $\mathcal{N}(G)$-次元を用いる。
• 群ガロア環 $\mathbb{C}\underline{G}$ が $L^\infty(\underline{G}^0)$-双加法的加群としての構造を持つことを利用し、von Neumann代数設定における次元を定義・計算する。
• 次元がゼロであるための局所的基準を用いて、包含写像 $L^\infty(X) \ast G \subset \mathbb{C}\mathcal{R}$ が $\dim_{L^\infty(X)}$-同型であることを示し、Tor群の比較を可能にする。
• 交叉積環 $L^\infty(X) \ast G$ が右 $\mathbb{C}G$-加群として平坦であることを利用し、$\mathbb{C}G$ と $L^\infty(X) \ast G$ における $\operatorname{Tor}$ 群の関係を確立する。
• 適合する双加法的加法の次元保存性および $\dim_{\mathcal{N}}$ の環拡張における推移性を用いて、$b^{(2)}_n(G)$ と $b^{(2)}_n(\mathcal{R})$ を等しくする。
• 任意のボレル集合 $A \subset \underline{G}^0$ に対して、$t(s^{-1}(A))$ が全測度を有するとき、スケーリング公式 $b^{(2)}_n(\underline{G}) = \mu(A) \cdot b^{(2)}_n(\underline{G}_{|A})$ が成り立つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散的測度付き群ガロアに対するL²-Betti数は、群、同値関係、およびII₁因子のケースを統一する形で定義可能か？
• RQ2 可算群 $G$ のL²-Betti数は、$G$ の自由な測度保持作用から生じる軌道同値関係 $\mathcal{R}$ のそれと一致するか？
• RQ3 弱軌道同値性におけるL²-Betti数の不変性は、Gaboriauの幾何的構成に依存しないホモロジー代数的枠組みから導けるか？
• RQ4 $\mathcal{N}(\underline{G})$-次元理論は、群ガロアへどのように拡張可能か？また、そのために必要な構造的性質（例：次元の整合性）は何か？
• RQ5 PopaのII₁因子に対する$L^2$-Betti数は、群ガロア的構成を介してホモロジー的枠組みに埋め込めるか？

主な発見

• 離散的測度付き群ガロア $\underline{G}$ のL²-Betti数は、$\dim_{\mathcal{N}(\underline{G})}$ を用いて $\operatorname{Tor}_n^{\mathbb{C}\underline{G}}(\mathcal{N}(\underline{G}), L^\infty(\underline{G}^0))$ として定義され、Lückの群論的定義を一般化する。
• 主たる結果 $b^{(2)}_n(G) = b^{(2)}_n(\mathcal{R})$ はホモロジー代数を用いて証明され、群とその軌道同値関係のL²-Betti数が同一であることを示す。
• 任意のボレル集合 $A \subset \underline{G}^0$ に対して、$t(s^{-1}(A))$ が全測度を有するとき、スケーリング公式 $b^{(2)}_n(\underline{G}) = \mu(A) \cdot b^{(2)}_n(\underline{G}_{|A})$ が成り立つ。
• $b^{(2)}_n(G) = b^{(2)}_n(\mathcal{R})$ の証明はGaboriauの幾何的定義に依存せず、軌道同値性不変性の新しい代数的視点を提供する。
• この結果により、弱軌道同値な群は $L^2$-Betti数が定数倍の関係にあり、軌道同値な群は同一の $L^2$-Betti数を持つことが示唆される。
• この枠組みは、Connes-ShlyakhtenkoのII₁因子に対する$L^2$-Betti数と、群ガロアホモロジーを介して定義されたそれらの関係に、潜在的な接続を示唆している。