[論文レビュー] L^2 harmonics forms on non compact manifolds

Gilles Carron|ArXiv.org|Apr 24, 2007

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 54被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、非コンパクトなリーマン多様体上の$L^2$調和形式および$L^2$コホロジーを検討し、$L^2$調和$k$-形式の空間が有限次元であるタイプIの問題に焦点を当てる。積分による部分積分、ソボレフ不等式、スペクトル理論などの道具を用いて、この空間の有限性が無限遠における幾何構造にのみ依存することを示し、特に可換コンパクト多様体およびホッジ＝ド・ラームラプラシアンの本質的スペクトルに関する重要な結果を得ている。

ABSTRACT

The source of these notes is a series of lectures given at the CIMPA's summer school "Recent Topics in Geometric Analysis".

研究の動機と目的

• 完備なリーマン多様体の無限遠における幾何構造と、その$L^2$調和$k$-形式の空間の有限性との関係を理解すること。
• 特に、$L^2$調和1-形式の構造を分析し、$L^2$調和関数および多様体のエンドとの関係を明らかにすること。
• 部分積分公式を用いて、マーツォの結果である可換コンパクト多様体の$L^2$コホロジーに関する新たな証明を提供すること。
• ホッジ＝ド・ラームラプラシアンのスペクトル、特に本質的スペクトルが$L^2$コホロジー類を決定づける役割を明確にすること。

提案手法

• $L^2$コホロジーの枠組みを用い、閉じた、平方可積分な微分形式を完全な形式で割ったものとして研究する。
• ドンネリーとシャクソの部分積分公式を応用し、可換コンパクト多様体上での$L^2$調和形式を制御する恒等式を導出する。
• ソボレフ不等式およびスペクトル理論を用いて、$H^1_0(M)$から$H^1_2(M)$への写像の単射性を特徴づけ、位相と幾何を結びつける。
• 無限遠近辺の解析を簡素化するため、計量の共形変換により$L^2$コホロジーの研究を正確な計量に還元する。
• $L^2$設定におけるホッジ分解定理を用い、調和形式をホッジ＝ド・ラームラプラシアンの核として特定する。
• $L^2$コホロジー理論の結果、例えば、縮小コホロジーおよび双対性に関する定理を応用し、調和形式の構造を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完備なリーマン多様体の無限遠における幾何構造は、その$L^2$調和$k$-形式の空間の次元にどのように影響を与えるか？
• RQ2 コンパクトに台を持つコホロジー$H^k_0(M)$から$L^2$コホロジー$H^k_2(M)$への自然な写像が同型であるための条件は何か？
• RQ3 可換コンパクト多様体の$L^2$コホロジーは、ホッジ＝ド・ラームラプラシアンのスペクトルとどのように関係するか？
• RQ4 どのような場合に$L^2$コホロジーが縮小コホロジーと一致し、それはラプラシアンのスペクトルとどのように関係するか？
• RQ5 リーマン多様体上の曲面における$L^2$調和1-形式の構造において、共形不変性が果たす役割は何か？

主な発見

• 完備なリーマン多様体上での$L^2$調和$k$-形式の空間の有限性は、J. ロットの結果により、無限遠における幾何構造にのみ依存する。
• $k < \text{dim}(M)/2$のとき、計量が無限遠で正確である限り、自然な写像$H^k_0(M) \to H^k_2(M)$は同型である。
• 可換コンパクト多様体では、適切な条件下で$L^2$コホロジーはコンパクトコアの相対コホロジーと同型である。
• ホッジ＝ド・ラームラプラシアンの$k$-形式に対する本質的スペクトルは、無限遠における挙動、特に可換コンパクトの場合に依存する。
• $k > \text{dim}(M)/2$のとき、$K$がコンパクトコアで、$k$-形式上のラプラシアンのスペクトルに$0$が含まれない限り、写像$H^k_2(M) \to H^k(K)$は単射である。
• $k > (n-1)/2$のとき、自然なコンパクトコア$K$へのリトラクションを用いた再帰的議論により、制限写像$H^k_2(M) \to H^k(K)$の上への性質が従う。