[論文レビュー] $L$-functions of ${\mathrm{GL}}(2n):$ $p$-adic properties and non-vanishing of twists

Mladen Dimitrov, Fabian Januszewski+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 20被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、完全実体 F 上の GL_{2n} のコhomologicalな cuspidal 自動形式表現 Π に対して、Shalika モデルを備えた p-adic L-関数を、修正された Hecke 理論を用いたモジュラー記号の手法により構成する。主な結果として、やや弱い正則性条件のもとで、すべての p-冪導手を持つディリクレ指標 χ に対して、中心歪み L-値 L(1/2, Π ⊗ χ) が非ゼロであることが示され、GL_2 や GL_3 を超える高ランク L-関数への非ゼロ性結果が拡張される。

ABSTRACT

The principal aim of this article is to attach and study $p$-adic $L$-functions to cohomological cuspidal automorphic representations $Π$ of $\mathrm{GL}(2n)$ over a totally real field $F$ admitting a Shalika model. We use a modular symbol approach, along the global lines of the work of Ash and Ginzburg, but our results are more definitive since we draw heavily upon the methods used in the recent and separate works of all the three authors. By construction our $p$-adic $L$-functions are distributions on the Galois group of the maximal abelian extension of $F$ unramified outside $p\infty$. Moreover we work under a weaker Panchishkine type condition on $Π_p$ rather than the full ordinariness condition. Finally, we prove the so-called Manin relations between the $p$-adic $L$-functions at all critical points. This has the striking consequence that, given a unitary $Π$ whose standard $L$-function admits at least two critical points, and given a prime $p$ such that $Π_p$ is ordinary, the central critical value $L( frac12, Π\otimesχ)$ is non-zero for all except finitely many Dirichlet characters $χ$ of $p$-power conductor.

研究の動機と目的

• 完全実体 F 上の GL_{2n} のコhomologicalな cuspidal 自動形式表現 Π に対して、Shalika モデルを備えた p-adic L-関数を構成すること。
• GL_2 や GL_3 を超えて、特に高ランク L-関数に対して、中心歪み L-値の非ゼロ性結果を一般化すること。
• 臨界点における p-adic L-関数の間の Manin 関係を確立し、非ゼロ性の結論を可能にする。
• 非正則な場合（nearly-ordinary）にまで非ゼロ性結果を拡張すること。
• 同時に複数の L-関数が同じ指標 χ で歪められた場合の非ゼロ性を示すこと。
• 算術的応用、特にヒルベルト尖型形式の対称べき L-関数に対する新しい有理型結果を提供すること。

提案手法

• Ash と Ginzburg の手法にインspされ、完全実体上の GL_{2n} のコhomologicalな自動形式表現に適応したモジュラー記号の手法を用いる。
• p∞ を除く分岐しない最大アーベル拡大のガロア群上の p-adic 分布を、p-adic 領域に値を持つように構成する。
• p 上の素数における Hecke 演算子を用いて、コンパクトに台を持つコホモロジーにおける固有クラスを定義し、特に次数 t = |Σ∞|(n² + n - 1) の最高次数に注目する。
• p-adic 補間を保証するため、完全正則性より弱い Panchishkine 型条件を局所的成分 Π_p に課す。
• p-adic L-関数に関連する p-adic ポワワーシェリーズに対して Weierstrass の準備定理を適用し、零点を制御する。
• 歪みノルム写像と測度のプッシュフォワードを用いて、非正則および歪み表現への非ゼロ性結果を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全実体 F 上の GL_{2n} のコhomologicalな自動形式表現 Π に対して、Shalika モデルを備えた p-adic L-関数を構成できるか？
• RQ2 p-冪導手を持つディリクレ指標 χ に対して、中心歪み L-値 L(1/2, Π ⊗ χ) が非ゼロのまま保たれる条件は何か？
• RQ3 p-adic L-関数の間の Manin 関係は、歪み L-値のゼロの挙動をどのように制約するか？
• RQ4 Π_p が完全に正則でない（nearly-ordinary）場合でも、非ゼロ性結果を拡張できるか？
• RQ5 同じ指標 χ で歪められた複数の L-関数に対して、同時に非ゼロであることを示せるか？

主な発見

• ユニタリな cuspidal 自動形式表現 Π が GL_{2n}/F 上にあり、p で Q-正則で、Shalika モデルを備えるとき、すべての p-冪導手を持つディリクレ指標 χ に対して、L(1/2, Π ⊗ (χ∘N_{F/Q})) ≠ 0 が成り立つ。
• Π が完全に正則でなくても、弱い Panchishkine 型条件を満たしていれば、中心歪み L-値は非ゼロのまま保たれる。
• 証明は、関連する p-adic 分布の零点集合を制御する p-adic L-関数間の Manin 関係に依存する。
• 同時に非ゼロ性の結果が成り立つ：有限個のこのような表現 Π_k に対して、それらの中心歪み L-値の積は、すべての p-冪導手を持つ χ に対して非ゼロである。
• 本結果により、ヒルベルト尖型形式の対称第五べき L-関数に対する新しい有理型結果が得られ、ラマヌジャン Δ-関数に対しても成立する。
• Cl_F^+(p^∞) 上の測度として p-adic L-関数を構成することで、Iwasawa 理論や特殊値予想への算術的応用の枠組みが得られる。