[論文レビュー] On Period Relations for Automorphic L-functions II

Fabian Januszewski|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 37被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、完全実数体上のGL(2n)の自己形式的表現の標準L関数の特別値に関する周期関係を、任意の特性0の体上でコhomologically誘導された汎関数の有理構造と硬い双対性を用いて確立する。主な結果は、有理的要因を除いてデリーニの予想を確認し、アーベル的基底拡大およびガロア同変性の下で予測された代数的構造と周期が一致することを示す。

ABSTRACT

We study Hecke algebras for pairs $({\mathfrak g},K)$ over arbitrary fields $E$ of characteristic $0$, define the Bernstein functor and give another definition of the Zuckerman functor over $E$. Building on this and the author's previous work on rational structures on automorphic representations, we show that hard duality remains valid over $E$ and apply this result to the study of rationality properties of Sun's cohomologically induced functionals. Our main application are period relations for the special values of standard $L$-functions of automorphic representations of $\mathrm{GL}(2n)$ admitting Shalika models.

研究の動機と目的

• GL(2n)の完全実数体上での自己形式的表現の標準L関数の有理性および周期関係を確立すること。
• ランキン＝セルバーグ畳み込みを超える標準L関数の文脈において、自己形式的表現の有理的構造の手法を拡張すること。
• このような自己形式的表現に関連する予想されるモチーフのL関数の臨界値に関するデリーニの予想を検証すること。
• コhomologically誘導の下で、アーベル的Zeta積分が表現の無限遠成分上でQ(Π)-有理的汎関数を生成することを証明すること。
• 特別値の比のガロア同変性を確立し、周期の期待される算術的構造と整合することを確認すること。

提案手法

• 任意の特性0の体上で、BernsteinおよびZuckerman関手を用いてコhomologically誘導された汎関数の有理的構造を構成する。
• 一般の基底上でヘッケ代数の硬い双対性を適用し、Casselman-Wallach表現上の汎関数の有理的性を制御する。
• Bernstein関手の基底拡大性および代数的Borel-Bott-Weil定理を用いて、異なる体上のコホモロジーを関連付ける。
• Q(μ)上での相対的リー代数コホモロジーを用いて、標準的モジュールの最下層の構造を分析する。
• Zeta積分の明示的公式を導出し、コhomologically誘導された準同型の非消滅基準を証明する。
• コンパクト群の有理的モデルおよび有限次元表現の理論を用いて、グローバル周期関係における算術的条件を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GL(2n)の自己形式的表現の標準L関数の特別値は、Shalikaモデルを備える場合に、デリーニの予想が予測する周期関係を満たすか？
• RQ2 臨界点におけるアーベル的Zeta積分は、表現の無限遠成分上でQ(Π)-有理的汎関数を生成するか？
• RQ3 L(s,Π⊗χ)のグローバル周期関係は、Aut(C/Q)の下で期待されるガロア同変性と整合するか？
• RQ4 有限位数のヘッケキャラクターによるねじれの下で、周期Ω±(Π)はどのように振る舞い、予測された代数的構造と一致するか？
• RQ5 正確には、Q(Π)と周期式における√−1の寄与の関係は何か、特にnが奇数の場合にどうなるか？

主な発見

• 周期関係が成立：L(1/2 + k, Π) ∈ (2πi)^{m·k} · Q(Π) · Ω_{(-1)^k}(Π) で、m = n·r_F であり、臨界値についてデリーニの予想を確認する。
• 臨界点におけるアーベル的Zeta積分は、強いゲルファンド性を仮定しなくても、Π_∞上でQ(Π)-有理的汎関数を生成する。
• グローバル周期関係はガロア同変性を満たす：L(s₀,Π⊗χ)/(G(χ̄)^n (2πi)^{j₀r_F n} Ω_{(-1)^{j₀}sgn χ}) はQ(Π,χ)に属する。
• 各臨界半整数s₀ = 1/2 + j₀に対して、周期Ω±(Π)はπ₀((F⊗Q R)^×)の2^{r_F}個のキャラクターによって添字付けられ、アーベル的位相の数と一致する。
• Πに付随する予想されるモチーフM(Π)は、Hodge数h_{v}^{p,q} = 1 を(p,q) = (μ_{k,v} - k + 2n, μ_{2n+1−k,v} + k − 1) でとり、d_v^± = n であり、期待されるHodge構造を確認する。
• 比Ω_{(-1)^j sgn χ}/(2πi)^{r_F n² c_{(-1)^{j+n} sgn χ}} はQ(Π)^×に属する。これは、ランク1のアービンモチーフに対するデリーニの予想に同値である。