[論文レビュー] Arithmeticity for periods of automorphic forms

Wee Teck Gan, A. Raghuram|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 33被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、数体 F 上の再帰的群 G の尖型自己形式的表現 π が (H,χ)-周期を非消滅有するための必要十分条件を、そのガロア共役表現 σπ が (H,σχ)-周期を非消滅有することと同値であることを、コhomological 条件の下で証明することにより、自己形式的周期の算術性を確立する。主な結果は古典的な算術性定理を一般化し、複素数体 ℂ の自己同型に関して周期の非消滅性が不変であるという予想を裏付ける。

ABSTRACT

A cuspidal automorphic representation πof a group G is said to to be distinguished with respect to a subgroup H if the integral of f along H is nonzero for a cusp form f in the space of π. Such period integrals are related to (non)vanishing of interesting L-values and also to Langlands functoriality. This article discusses a general principle, labelled arithmeticity, which roughly states that "πis H-distinguished if and only if any Galois conjugate of πis H-distinguished." We study this principle via several examples; starting with GL(2) and leading up to more complicated situations where the ambient group is a higher GL(n) or a classical group.

研究の動機と目的

• ガロア共役に関して自己形式的周期のグローバル算術性原理を確立すること。
• L-関数と周期に関する古典的代数的結果を、高ランク群および一般化された周期積分へと拡張すること。
• コhomological およびファンクター理論的手法を用いて、ℂ の自己同型に関して周期の非消滅性が不変であるという予想を検証すること。
• コhomological 表現のガロア共役に関するクローテルの定理を、古典的群へと一般化すること。
• L-関数の非消滅性およびファンクター理論的転送を通じて、周期積分のモチーフ的解釈を提供すること。

提案手法

• コhomological 準拠を用いて、コhomological 尖型自己形式的表現 π のガロア共役表現 σπ を定義する。
• クローテルの定理（定理 3.1）およびその一般化（定理 9.5）を適用し、σπ がコhomological かつ尖型であることを保証する。
• 古典的群（例えば GSpin(2n+1)、U(n)、U(n)×U(n-1)）からのファンクター理論的転送を用いて、(H,χ)-周期の非消滅性を特徴付ける。
• 局所的一般性および L-パックの一般性の唯一性を用いて、σπ のグローバル一般性を導出する。
• グローバル降下理論およびグローブ＝プラザードの予想を用いて、σπ が非消滅周期を引き継ぐことを示す。
• モチーフ的 L-関数に関するグローブの予想を通じて、周期の非消滅性と臨界 L-値を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コhomological 自己形式的表現 π に対して、グローバルな (H,χ)-周期が非消滅するならば、そのガロア共役 σπ は (H,σχ)-周期についても非消滅するか？
• RQ2 特に SO(2n+1)、U(2n+1)、U(n)×U(n-1) のような古典的群に対して、GL(n) を超えて周期の算術性がどの程度成立するか？
• RQ3 ファンクター理論的転送および L-関数の性質を通じて、(H,χ)-周期の非消滅性を、Aut(ℂ) に関して不変となる形で特徴付けることができるか？
• RQ4 グローバルに一般な表現 π のガロア共役 σπ が、いつグローバルに一般になるか？
• RQ5 コhomological およびファンクター理論的道具と組み合わせたグローバルなグローブ＝プラザード予想は、周期の算術性をどのように支持するか？

主な発見

• G = GL₂/F の場合、尖型コホモロジー空間に有理数構造が存在するため、Whittaker 周期の算術性が成立する。
• GL₂/F の場合、Manin および Shimura の臨界 L-値に関する代数的定理から、(GL₁,χ)-周期の算術性が従う。
• GL₂n/F の場合、Shalika 周期の非消滅性は GSpin(2n+1) からのファンクター理論的転送によって特徴付けられ、ガロア共役に関して保存される。
• E/F が二次拡大のとき、GL(n)/E に対して、GL(n)/F 周期はユニタリ群 U(n) からのファンクター理論的転送によって特徴付けられ、コhomological 偽定を仮定すれば算術性条件が成立する。
• GL(n)×GL(n−1) の場合、グローブ＝プラザード周期の非消滅性は、グローバル降下および L-関数非消滅基準により、ガロア共役に関して保存されることが示された。
• SO(2n+1) や U(2n+1) などの古典的群に対して、π がグローバルに一般的かつコhomological であれば、σπ もグローバルに一般的であることが示され、これらのケースにおける Whittaker 周期の算術性が証明された。